Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
12 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-2 y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
12\,y''-5\,y'-2\,y=0.
O conteúdo aqui é a técnica de equação característica: para uma ED do tipo a\,y''+b\,y'+c\,y=0, montamos a equação polinomial a\,r^2+b\,r+c=0.

Passo 2

Identificando os coeficientes a=12, b=-5 e c=-2, escrevemos a equação característica:
12\,r^2 -5\,r -2 = 0.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver
r = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot12\cdot(-2)}}{2\cdot12} = \frac{5\pm\sqrt{25+96}}{24} = \frac{5\pm\sqrt{121}}{24} = \frac{5\pm11}{24}.
Assim obtemos as raízes
r_1 = \frac{5+11}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}, \quad r_2 = \frac{5-11}{24} = -\frac{6}{24} = -\frac{1}{4}.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1\,e^{r_1 x} + C_2\,e^{r_2 x} = C_1\,e^{\frac{2}{3}x} + C_2\,e^{-\frac{1}{4}x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1\,e^{\frac{2}{3}x}+C_2\,e^{-\frac{1}{4}x}.

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