Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+25 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 10\,\frac{dy}{dx} + 25\,y = 0
O conteúdo aqui é o método do ansatz y = e^{r x}, que leva à equação característica.

Passo 2

Substituindo y = e^{r x} na EDO, obtemos
r^{2} e^{r x} - 10\,r\,e^{r x} + 25\,e^{r x} = 0
Como e^{r x}\neq0, a equação característica é
r^{2} - 10\,r + 25 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante da quadrática
\Delta = (-10)^{2} - 4\cdot1\cdot25 = 100 - 100 = 0.
Como \Delta=0, há uma raiz dupla
r = \frac{10}{2} = 5.

Passo 4

Para raiz dupla r_{0}=5, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2}\,x\bigr)\,e^{5x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

Equação característica:
r^{2} - 10\,r + 25 = 0
Raiz: r = 5 (multiplicidade 2)
Solução geral:
y(x) = C_{1}\,e^{5x} + C_{2}\,x\,e^{5x}.

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