Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
O método envolve montar a equação característica, encontrar suas raízes e, a partir delas, escrever a solução geral.
Passo 2
Para uma equação diferencial de ordem quatro com coeficientes constantes, associamos a ela a equação característica trocando cada derivada por uma potência de
. Assim, obtemos
Passo 3
Note que a equação
é quadrática em
. Fazemos a substituição
ficando
Passo 4
Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara:
Logo,
Retornando a
, temos
Passo 5
As raízes distintas
e
geram a solução geral como combinação de exponenciais e funções trigonométricas:
onde
são constantes arbitárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
Equação característica:
Raízes:
Solução geral: