Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-7 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-18 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
\frac{d^{4}y}{dx^{4}} - 7\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 18\,y = 0.
O método envolve montar a equação característica, encontrar suas raízes e, a partir delas, escrever a solução geral.

Passo 2

Para uma equação diferencial de ordem quatro com coeficientes constantes, associamos a ela a equação característica trocando cada derivada por uma potência de r. Assim, obtemos
r^{4} - 7\,r^{2} - 18 = 0.

Passo 3

Note que a equação
r^{4} - 7\,r^{2} - 18 = 0
é quadrática em r^{2}. Fazemos a substituição
u = r^{2},
ficando
u^{2} - 7\,u - 18 = 0.

Passo 4

Resolvendo u^{2} - 7u - 18 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
u = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{7 \pm 11}{2}.
Logo,
u_{1} = 9, \quad u_{2} = -2.
Retornando a r, temos
r^{2} = 9 \implies r = \pm 3, \qquad r^{2} = -2 \implies r = \pm i\sqrt{2}.

Passo 5

As raízes distintas \pm3 e \pm i\sqrt{2} geram a solução geral como combinação de exponenciais e funções trigonométricas:
y(x) = C_{1}\,e^{3x} + C_{2}\,e^{-3x} + C_{3}\,\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + C_{4}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

Equação característica:
r^{4} - 7\,r^{2} - 18 = 0.
Raízes:
r = 3,\quad r = -3,\quad r = i\sqrt{2},\quad r = -\,i\sqrt{2}.
Solução geral:
y(x) = C_{1}\,e^{3x} + C_{2}\,e^{-3x} + C_{3}\,\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + C_{4}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr).

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