Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 6y = 0.
O conteúdo aqui é usar o método da equação característica, assumindo uma solução do tipo y(x)=e^{rx}.

Passo 2

Substituindo y(x)=e^{rx} na EDO, obtemos a equação característica
r^2 - r - 6 = 0.

Passo 3

Agora calculamos o discriminante:
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25.
Logo as raízes são
r = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \quad\Longrightarrow\quad r_1 = 3,\; r_2 = -2.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A equação característica é r^2 - r - 6 = 0, com raízes r_1 = 3 e r_2 = -2.
A solução geral é
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x}.

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