Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem 5 com coeficientes constantes
O conteúdo é o método da equação característica: vamos montar o polinômio característico, achar suas raízes (reais e multiplicidades) e, a partir disso, escrever a solução geral.
Passo 2
Substituímos
e obtemos a equação característica
Passo 3
Buscamos raízes inteiras testando
. Para
:
logo
é raiz. Fazendo a divisão sintética por
obtém-se
Passo 4
Testando novamente
na quarta-grau:
logo
é raiz dupla. Dividindo por
sobra
Passo 5
Na cúbica testamos
:
logo
é raiz. Dividindo por
sobra
Passo 6
Resolvendo a quadrática:
dá
(segunda vez) e
.
Logo as raízes são
(multiplicidade 2),
(multiplicidade 2),
(multiplicidade 1).
Passo 7
Para cada raiz real de multiplicidade
contribuímos com
Assim, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.
Resposta
A equação característica é
com raízes
(dupla),
(dupla) e
.
A solução geral é
A solução geral é