Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
\frac{d^{5} u}{d r^{5}}+5 \frac{d^{4} u}{d r^{4}}-2 \frac{d^{3} u}{d r^{3}}-10 \frac{d^{2} u}{d r^{2}}+\frac{d u}{d r}+5 u=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem 5 com coeficientes constantes
\frac{d^{5}u}{dr^{5}}+5\frac{d^{4}u}{dr^{4}}-2\frac{d^{3}u}{dr^{3}}-10\frac{d^{2}u}{dr^{2}}+\frac{du}{dr}+5u=0.
O conteúdo é o método da equação característica: vamos montar o polinômio característico, achar suas raízes (reais e multiplicidades) e, a partir disso, escrever a solução geral.

Passo 2

Substituímos u(r)=e^{r\,\lambda} e obtemos a equação característica
\lambda^{5}+5\lambda^{4}-2\lambda^{3}-10\lambda^{2}+\lambda+5=0.

Passo 3

Buscamos raízes inteiras testando \lambda=\pm1,\pm5. Para \lambda=1:
1+5-2-10+1+5=0,
logo \lambda=1 é raiz. Fazendo a divisão sintética por \lambda-1 obtém-se
\lambda^{4}+6\lambda^{3}+4\lambda^{2}-6\lambda-5=0.

Passo 4

Testando novamente \lambda=1 na quarta-grau:
1+6+4-6-5=0,
logo \lambda=1 é raiz dupla. Dividindo por \lambda-1 sobra
\lambda^{3}+7\lambda^{2}+11\lambda+5=0.

Passo 5

Na cúbica testamos \lambda=-1:
(-1)^{3}+7(-1)^{2}+11(-1)+5=-1+7-11+5=0,
logo \lambda=-1 é raiz. Dividindo por \lambda+1 sobra
\lambda^{2}+6\lambda+5=0.

Passo 6

Resolvendo a quadrática:
\lambda^{2}+6\lambda+5=(\lambda+1)(\lambda+5)=0
\lambda=-1 (segunda vez) e \lambda=-5.
Logo as raízes são
\lambda_{1}=1 (multiplicidade 2),
\lambda_{2}=-1 (multiplicidade 2),
\lambda_{3}=-5 (multiplicidade 1).

Passo 7

Para cada raiz real de multiplicidade m contribuímos com
e^{\lambda r},\;r\,e^{\lambda r},\dots,r^{m-1}e^{\lambda r}.
Assim, a solução geral é
u(r)=(C_{1}+C_{2}r)e^{r}+(C_{3}+C_{4}r)e^{-r}+C_{5}e^{-5r},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5} são constantes arbitrárias.

Resposta

A equação característica é
\lambda^{5}+5\lambda^{4}-2\lambda^{3}-10\lambda^{2}+\lambda+5=0,
com raízes \lambda=1 (dupla), \lambda=-1 (dupla) e \lambda=-5.
A solução geral é
u(r)=(C_{1}+C_{2}r)e^{r}+(C_{3}+C_{4}r)e^{-r}+C_{5}e^{-5r}.

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