Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
\frac{d^{5} x}{d s^{5}}-2 \frac{d^{4} x}{d s^{4}}+16 \frac{d^{2} x}{d s^{2}}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de quinta ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{5}x}{ds^{5}} \;-\; 2\,\frac{d^{4}x}{ds^{4}} \;+\; 16\,\frac{d^{2}x}{ds^{2}} \;=\; 0
e pede para determinar a equação característica, achar suas raízes e, a partir delas, escrever a solução geral x(s). Vamos usar o método clássico de substituir d/ds por uma variável auxiliar r.

Passo 2

Para obter a equação característica, fazemos a troca
\frac{d^n x}{ds^n}\;\longrightarrow\;r^n
na equação dada, resultando em
r^5 \;-\;2\,r^4\;+\;16\,r^2 \;=\;0.

Passo 3

Observamos que r^2 é fator comum em todos os termos, então colocamos em evidência:
r^2\bigl(r^3 \;-\;2\,r^2\;+\;16\bigr)=0.
Dessa fatoração já vemos duas raízes iguais iguais a zero, r_1=0 e r_2=0.

Passo 4

Fica então o polinômio cúbico
r^3 -2\,r^2 +16 = 0.
Testamos raízes inteiras e achamos que r=-2 satisfaz
(-2)^3 -2(-2)^2 +16 = -8 -8 +16 =0.
Ao dividir r^3 -2r^2 +16 por (r+2) obtemos o quociente r^2 -4r +8. Resolvendo essa quadrática:
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 -4\cdot1\cdot8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2} = 2 \pm 2\,i.

Passo 5

Resumindo todas as raízes com suas multiplicidades:
r=0 \quad(\text{multiplicidade }2), \quad r=-2, \quad r=2+2i, \quad r=2-2i.

Passo 6

Para cada tipo de raiz temos:
– raiz real simples r=-2 gera o termo e^{-2s}.
– raiz nula de ordem 2 gera C_1 e C_2\,s.
– raízes complexas conjugadas 2\pm2i geram o termo real
e^{2s}\bigl(C_4\cos(2s)+C_5\sin(2s)\bigr).

Resposta

x(s) \;=\; C_{1} \;+\; C_{2}\,s \;+\; C_{3}\,e^{-2s} \;+\; e^{2s}\bigl(C_{4}\cos(2s)+C_{5}\sin(2s)\bigr),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5} são constantes arbitrárias.

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