Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de quinta ordem com coeficientes constantes
e pede para determinar a equação característica, achar suas raízes e, a partir delas, escrever a solução geral
. Vamos usar o método clássico de substituir
por uma variável auxiliar
.
Passo 2
Para obter a equação característica, fazemos a troca
na equação dada, resultando em
Passo 3
Observamos que
é fator comum em todos os termos, então colocamos em evidência:
Dessa fatoração já vemos duas raízes iguais iguais a zero,
e
.
Passo 4
Fica então o polinômio cúbico
Testamos raízes inteiras e achamos que
satisfaz
Ao dividir
por
obtemos o quociente
. Resolvendo essa quadrática:
Passo 5
Resumindo todas as raízes com suas multiplicidades:
Passo 6
Para cada tipo de raiz temos:
– raiz real simples gera o termo
.
– raiz nula de ordem gera
e
.
– raízes complexas conjugadas geram o termo real
– raiz real simples
– raiz nula de ordem
– raízes complexas conjugadas
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.