Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+8 \frac{d y}{d x}+16 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 8\,\frac{dy}{dx} + 16\,y = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que consiste em procurar soluções da forma y=e^{r x}.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} na equação, temos
\frac{d y}{dx} = r e^{r x}, \quad \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = r^{2} e^{r x}.
Logo a equação torna-se
r^{2} e^{r x} + 8\,r e^{r x} + 16\,e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq0, cancelamos esse fator e obtemos a equação característica

Passo 3

r^{2} + 8r + 16 = 0.
Para encontrar as raízes, calculamos o discriminante:
\Delta = 8^{2} - 4\cdot1\cdot16 = 64 - 64 = 0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz dupla
r = \frac{-8}{2} = -4.

Passo 4

Quando a raiz r=-4 é dupla, a solução geral da equação diferencial é dada por
y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2}\,x\bigr)\,e^{-4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

Equação característica: \;r^{2}+8r+16=0
Raízes: r_{1}=r_{2}=-4
Solução geral:
y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}\,x\bigr)e^{-4x}.

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