Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que consiste em procurar soluções da forma
.
Passo 2
Substituindo
na equação, temos
Logo a equação torna-se
Como
, cancelamos esse fator e obtemos a equação característica
Passo 3
Para encontrar as raízes, calculamos o discriminante:
Como
, a equação tem uma raiz dupla
Passo 4
Quando a raiz
é dupla, a solução geral da equação diferencial é dada por
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
Equação característica:
Raízes:
Solução geral:
Raízes:
Solução geral: