Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 3y' + 2y = 0.
O conteúdo é resolução de EDOs de segunda ordem usando o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{mx}. Substituindo na equação e dividindo por e^{mx}, obtemos a equação característica em m:
m^2 - 3m + 2 = 0.

Passo 3

Para encontrar as raízes, resolvemos a equação quadrática
m^2 - 3m + 2 = 0.
Fatorando, temos
m^2 - 3m + 2 = (m - 1)(m - 2) = 0,
logo as raízes são \,m_1 = 1 e \,m_2 = 2.

Passo 4

Como as raízes m_1 e m_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = C_1 e^{m_1 x} + C_2 e^{m_2 x}
ou seja
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A equação característica é
m^2 - 3m + 2 = 0,
suas raízes são \,m_1=1 e \,m_2=2, e a solução geral é
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}.

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