Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{(4)}-2 y^{\prime \prime}+y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
y^{(4)} - 2\,y'' + y = 0
e pede que a gente determine a equação característica, ache suas raízes e escreva a solução geral. Para isso, vamos usar o método de tentar uma solução do tipo y=e^{r x}.

Passo 2

Supondo
y(x)=e^{r x},
temos
y''(x)=r^2\,e^{r x}, \quad y^{(4)}(x)=r^4\,e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial e dividindo por e^{r x}\neq0, obtemos a equação característica
r^4 - 2\,r^2 + 1 = 0.

Passo 3

O polinômio caracteriza-se como um quadrado perfeito:
r^4 - 2\,r^2 + 1 = (r^2 - 1)^2 = 0.
Logo, r^2=1 com multiplicidade 2, de onde as raízes são
r=1\quad(\text{multiplicidade }2), \quad r=-1\quad(\text{multiplicidade }2).

Passo 4

Para cada raiz r de multiplicidade 2, a contribuição na solução geral é (C_1 + C_2\,x)e^{r x}. Combinando as duas raízes, a solução geral fica
y(x) = (C_{1} + C_{2}\,x)\,e^{x} \;+\;(C_{3} + C_{4}\,x)\,e^{-x}.

Resposta

y(x) = (C_{1} + C_{2}\,x)\,e^{x} + (C_{3} + C_{4}\,x)\,e^{-x}.

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