Determine a equação cartesiana da curva parametrizada r(t)=\left(2 t-4,3+t^{2}\right) e faça um esboço dela.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a curva parametrizada
r(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(2t-4,\;3+t^{2}\bigr)
em sua equação cartesiana y=f(x) e, em seguida, esboçar essa curva. O conteúdo que vamos usar é a eliminação do parâmetro t.

Passo 2

Da primeira componente x=2t-4, isolamos t.
x = 2t - 4 \quad\Longrightarrow\quad 2t = x + 4 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{x + 4}{2}.

Passo 3

Substituímos t = \tfrac{x+4}{2} na expressão de y.
y = 3 + t^{2} = 3 + \Bigl(\frac{x+4}{2}\Bigr)^{2} = 3 + \frac{(x+4)^{2}}{4}.

Passo 4

A equação
y = 3 + \frac{(x+4)^{2}}{4}
é uma parábola com eixo vertical. O vértice ocorre quando (x+4)^{2}=0, ou seja, em x=-4, e então
y_{\text{vértice}} = 3 + 0 = 3.é
Logo, o vértice está em (-4,3). Alguns pontos para esboço:
t =1\to x=-2, y=4
t = - 1\to x=-6, y=4
t =2\to x=0, y=7
Com isso traçamos uma parábola voltada para cima, simétrica em torno da reta x=-4.

Resposta

A equação cartesiana é
y = 3 + \frac{(x+4)^{2}}{4}.
Esboço: parábola de vértice em (-4,3), concavidade para cima e eixo de simetria x=-4.

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