Em uma superfície horizontal lisa, uma massa m_{1}=2 \mathrm{~kg} está presa a uma parede fixa por uma mola com constante de mola k_{1}=4 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Outra massa m_{2}=1 \mathrm{~kg} está presa ao primeiro objeto por uma mola com constante de mola k_{2}=2 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Os objetos estão alinhados na horizontal, e o sistema é descrito pelas equações
\left\{\begin{array}{l} 2 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+6 x-2 y=0 \\\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 y-2 x=0 \end{array}\right.
em que x e y representam as posições das massas m_{1} e m_{2}, respectivamente. Se os dois objetos foram deslocados 3 m para a direita de suas posições de equilíbrio e depois soltos, quais as suas equações de movimento?

Passo 1

O enunciado descreve duas massas ligadas por molas numa superfície horizontal sem atrito. As equações de movimento acopladas são
\begin{cases} 2\,\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 6\,x -2\,y = 0,\\\ \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}} +2\,y -2\,x = 0, \end{cases}
com condições iniciais
x(0)=3,\quad y(0)=3,\quad \dot x(0)=0,\quad \dot y(0)=0.
O conteúdo é oscilações acopladas e vamos usar a técnica de modos normais.

Passo 2

Procuramos modos normais assumindo soluções da forma
x(t)=X\cos(\omega t),\quad y(t)=Y\cos(\omega t).
Substituindo em cada equação e dividindo por \cos(\omega t) obtemos o sistema algébrico
\begin{pmatrix} 6-2\omega^2 & -2\\\\ -2 & 2-\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\Y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Para existir solução não trivial, o determinante dessa matriz deve ser zero.

Passo 3

O determinante dá
(6-2\omega^2)(2-\omega^2)-(-2)(-2)=0 \;\Longrightarrow\; 2\omega^4-10\omega^2+8=0 \;\Longrightarrow\; \omega^4-5\omega^2+4=0,
cuja fatoração (\omega^2-1)(\omega^2-4)=0 fornece
\omega_1=1,\quad \omega_2=2.

Passo 4

Para cada \omega^2 achamos o autovetor (X,Y):
  1. Se \omega^2=1: da primeira linha 4X-2Y=0, segue Y=2X.
  2. Se \omega^2=4: da primeira linha -2X-2Y=0, segue Y=-X.
    Logo os modos normais são (1,2) com frequência 1 e (1,-1) com frequência 2.

Passo 5

A solução geral é combinação linear dos modos:
x(t)=A\cos(t)+C\cos(2t), \quad y(t)=2A\cos(t)-C\cos(2t),
onde usamos apenas cossenos já que \dot x(0)=\dot y(0)=0.

Passo 6

Impondo x(0)=A+C=3 e y(0)=2A -C=3, somando as duas equações obtém-se 3A=6 logo A=2 e, em seguida, C=1.

Resposta

x(t)=2\cos(t)+\cos(2t),
y(t)=4\cos(t)-\cos(2t).

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