Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto
e é normal ao vetor
. Verifique se o ponto
pertence a este plano.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
-
Dados:
- Ponto
. - Vetor normal ao plano
. - Ponto para verificação
.
- Ponto
-
Perguntas:
- Encontrar a equação geral do plano que passa por
e é normal a . - Verificar se
pertence a esse plano.
- Encontrar a equação geral do plano que passa por
Passo 2
Entendendo a ideia principal (a fórmula que vamos usar), explico passo a passo:
- Um plano no espaço pode ser descrito por uma equação linear na forma
onde o vetor
é um vetor normal ao plano (ou seja, é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano).
- Outra forma muito prática de lembrar isso é usar produto escalar (dot product). Se
é normal e é um ponto genérico qualquer do plano, e é um ponto conhecido do plano, então a condição de que esteja no plano é
Aqui:
-
significa . -
A razão é geométrica:
é um vetor pertencente ao plano e o produto escalar com deve ser zero se forem perpendiculares. -
Então, para achar a equação do plano basta substituir
pelo vetor normal e pelo ponto dado.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Aqui
, logo , , . - O ponto conhecido é
, ou seja , , .
A equação vetorial do plano é
Escrevendo explicitamente:
Passo 4
Agora desenvolvo e simplifico essa expressão passo a passo (faça na prova sem calculadora, quebrando cada termo):
- Primeiro distribuo os coeficientes:
- Somando tudo:
Passo 5
Combino os termos constantes e reorganizo em forma geral
:
- Soma das constantes:
. - Portanto a equação fica
Essa é a equação geral do plano procurado.
Passo 6
Agora verifico se
pertence ao plano: basta substituir as coordenadas de
na equação do plano e ver se a igualdade é satisfeita.
- Substituindo
, , em
- Calculo passo a passo:
-
O resultado da expressão é
, que é diferente de . Logo a equação não é satisfeita por . -
Conclusão:
não pertence ao plano.
Resposta
Não,
não pertence ao plano.