Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto P=(1,2,3) e é normal ao vetor \vec{n}= (2,-3,1). Verifique se o ponto Q=(0,3,-1) pertence a este plano.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados:
    • Ponto P=(1,2,3).
    • Vetor normal ao plano \vec{n}=(2,-3,1).
    • Ponto para verificação Q=(0,3,-1).
  • Perguntas:
    1. Encontrar a equação geral do plano que passa por P e é normal a \vec{n}.
    2. Verificar se Q pertence a esse plano.

Passo 2

Entendendo a ideia principal (a fórmula que vamos usar), explico passo a passo:
  • Um plano no espaço pode ser descrito por uma equação linear na forma
Ax + By + Cz + D = 0,
onde o vetor (A,B,C) é um vetor normal ao plano (ou seja, é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano).
  • Outra forma muito prática de lembrar isso é usar produto escalar (dot product). Se \vec{n}=(A,B,C) é normal e \vec{r}=(x,y,z) é um ponto genérico qualquer do plano, e \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0) é um ponto conhecido do plano, então a condição de que \vec{r} esteja no plano é
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0.
Aqui:
  • \vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0}) significa A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0).
  • A razão é geométrica: \vec{r}-\vec{r_0} é um vetor pertencente ao plano e o produto escalar com \vec{n} deve ser zero se forem perpendiculares.
  • Então, para achar a equação do plano basta substituir A,B,C pelo vetor normal e (x_0,y_0,z_0) pelo ponto dado.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Aqui \vec{n}=(2,-3,1), logo A=2, B=-3, C=1.
  • O ponto conhecido é \vec{r_0}=P=(1,2,3), ou seja x_0=1, y_0=2, z_0=3.
A equação vetorial do plano é
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0.
Escrevendo explicitamente:
2(x-1) + (-3)(y-2) + 1(z-3) = 0.

Passo 4

Agora desenvolvo e simplifico essa expressão passo a passo (faça na prova sem calculadora, quebrando cada termo):
  • Primeiro distribuo os coeficientes:
2(x-1) = 2x - 2,
-3(y-2) = -3y + 6,
1(z-3) = z - 3.
  • Somando tudo:
(2x - 2) + (-3y + 6) + (z - 3) = 0.

Passo 5

Combino os termos constantes e reorganizo em forma geral Ax+By+Cz+D=0:
  • Soma das constantes: -2 + 6 - 3 = 1.
  • Portanto a equação fica
2x - 3y + z + 1 = 0.
Essa é a equação geral do plano procurado.

Passo 6

Agora verifico se Q=(0,3,-1) pertence ao plano: basta substituir as coordenadas de Q na equação do plano e ver se a igualdade é satisfeita.
  • Substituindo x=0, y=3, z=-1 em \;2x - 3y + z + 1\;:
2\cdot 0 - 3\cdot 3 + (-1) + 1.
  • Calculo passo a passo:
2\cdot 0 = 0,
-3\cdot 3 = -9,
0 + (-9) + (-1) + 1 = -9 + 0 = -9.
  • O resultado da expressão é -9, que é diferente de 0. Logo a equação não é satisfeita por Q.
  • Conclusão: Q não pertence ao plano.

Resposta

2x - 3y + z + 1 = 0
Não, Q não pertence ao plano.

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