Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto C(- 4, 7) e possui raio igual a 11, em sua forma geral e em sua forma reduzida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que passa pelo ponto $ C(-4, 7) $ e tem raio igual a 11. A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, especificamente as equações das circunferências. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a forma geral e a forma reduzida da equação de uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma reduzida da equação de uma circunferência. Ela é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, $ (h, k) $ são as coordenadas do centro da circunferência e $ r $ é o raio.

Passo 3

Sabemos que o raio $ r $ é igual a 11. Então, substituindo na fórmula, temos:
r
(x - h)^2 + (y - k)^2 = 11^2

Passo 4

Agora, sabemos que a circunferência passa pelo ponto $ C(-4, 7) $. Isso significa que, se substituirmos $ x = -4 $ e $ y = 7 $ na equação da circunferência, a igualdade deve se manter verdadeira. Vamos fazer isso:
C(-4, 7)

Passo 5

Desenvolvendo os termos, temos:
(h + 4)^2 + (k - 7)^2 = 121
Isso é uma equação com duas incógnitas ($ h $ e $ k $). Ou seja, sem mais informações, existem infinitas possibilidades para o centro $ (h, k) $ da circunferência que satisfazem essa condição.

Resposta

Portanto, a equação reduzida da circunferência é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = 121
E a equação geral, expandindo os termos, fica:
x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - 121) = 0
Como não temos valores específicos para $ h $ e $ k $, essa é a forma geral das equações da circunferência que passa por $ C(-4, 7) $ com raio 11.

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