Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto C(- 4, 7) e possui raio igual a 11, em sua forma geral e em sua forma reduzida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que passa pelo ponto $ C(-4, 7) $ e tem raio igual a 11. A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, especificamente as equações das circunferências. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a forma geral e a forma reduzida da equação de uma circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma reduzida da equação de uma circunferência. Ela é dada por:
Aqui, $ (h, k) $ são as coordenadas do centro da circunferência e $ r $ é o raio.
Passo 3
Sabemos que o raio $ r $ é igual a 11. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, sabemos que a circunferência passa pelo ponto $ C(-4, 7) $. Isso significa que, se substituirmos $ x = -4 $ e $ y = 7 $ na equação da circunferência, a igualdade deve se manter verdadeira. Vamos fazer isso:
Passo 5
Desenvolvendo os termos, temos:
Isso é uma equação com duas incógnitas ($ h $ e $ k $). Ou seja, sem mais informações, existem infinitas possibilidades para o centro $ (h, k) $ da circunferência que satisfazem essa condição.
Resposta
Portanto, a equação reduzida da circunferência é:
E a equação geral, expandindo os termos, fica:
Como não temos valores específicos para $ h $ e $ k $, essa é a forma geral das equações da circunferência que passa por $ C(-4, 7) $ com raio 11.