Determine uma equação da circunferência que passa pelos pontos A(5,0), B(4,3) e C(-4,-3). (Sugestão: chame o centro de O(a,b) e use o fato de que d(A,O) = d(B,O) = d(C,O) = r.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação de uma circunferência que passa pelos pontos A(5, 0), B(4, 3) e C(-4, -3). Estamos trabalhando com geometria analítica, mais especificamente com circunferências no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre pontos e a equação geral da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma circunferência com centro em O(a, b) e raio r é dada por:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
Isso significa que qualquer ponto que esteja na circunferência satisfaz essa equação.

Passo 3

Como os pontos A, B e C estão na circunferência, a distância de cada um deles até o centro O(a, b) é igual ao raio r. Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para expressar isso.
A distância entre A(5, 0) e O(a, b) é:
raiz(5 - a)^2 + (0 - b)^2 = r
A distância entre B(4, 3) e O(a, b) é:
raiz(4 - a)^2 + (3 - b)^2 = r
E a distância entre C(-4, -3) e O(a, b) é:
raiz(-4 - a)^2 + (-3 - b)^2 = r

Passo 4

Como todas essas distâncias são iguais a r, podemos igualar duas a duas para eliminar o r e formar um sistema de equações. Vamos igualar a distância de A a O com a de B a O, e a distância de A a O com a de C a O.
Primeiro, igualamos A e B:
raiz(5 - a)^2 + (0 - b)^2 = raiz(4 - a)^2 + (3 - b)^2

Passo 5

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(5 - a)^2 + (0 - b)^2 = (4 - a)^2 + (3 - b)^2
Expandindo os termos:
(25 - 10a + a^2) + (0 - 0 + b^2) = (16 - 8a + a^2) + (9 - 6b + b^2)

Passo 6

Simplificando a equação:
25 - 10a + a^2 + b^2 = 16 - 8a + a^2 + 9 - 6b + b^2
Observamos que os termos a^2 e b^2 aparecem em ambos os lados e se cancelam:
25 - 10a = 25 - 8a - 6b

Passo 7

Vamos reorganizar os termos para isolar as incógnitas:
-10a + 8a = -6b
-2a = -6b
Dividindo ambos os lados por -2:
a = 3b

Passo 8

Agora, vamos igualar a distância de A a O com a de C a O:
raiz(5 - a)^2 + (0 - b)^2 = raiz(-4 - a)^2 + (-3 - b)^2
Elevando ao quadrado ambos os lados:
(5 - a)^2 + (0 - b)^2 = (-4 - a)^2 + (-3 - b)^2

Passo 9

Expandindo os termos:
(25 - 10a + a^2) + (0 - 0 + b^2) = (16 + 8a + a^2) + (9 + 6b + b^2)
Simplificando:
25 - 10a + a^2 + b^2 = 25 + 8a + a^2 + 6b + b^2
Os termos a^2 e b^2 se cancelam novamente:
25 - 10a = 25 + 8a + 6b

Passo 10

Reorganizando os termos para isolar as incógnitas:
-10a - 8a = 6b
-18a = 6b
Dividindo ambos os lados por 6:
-3a = b

Passo 11

Agora temos duas expressões para a e b:
  1. a = 3b
  2. b = -3a
Vamos substituir a primeira na segunda:
b = -3(3b)
b = -9b
Somando 9b aos dois lados:
10b = 0
b = 0

Passo 12

Com b = 0, podemos encontrar a usando a = 3b:
a = 3(0)
a = 0

Passo 13

Agora que temos o centro da circunferência O(0, 0), vamos encontrar o raio r usando a distância de O a qualquer um dos pontos, por exemplo, o ponto A(5, 0):
r = raiz(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2
r = raiz25 + 0
r = 5

Resposta

A equação da circunferência é:
x^2 + y^2 = 25

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