Determine uma equação da circunferência que passa pelos pontos A(5,0), B(4,3) e C(-4,-3). (Sugestão: chame o centro de O(a,b) e use o fato de que d(A,O) = d(B,O) = d(C,O) = r.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação de uma circunferência que passa pelos pontos A(5, 0), B(4, 3) e C(-4, -3). Estamos trabalhando com geometria analítica, mais especificamente com circunferências no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre pontos e a equação geral da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma circunferência com centro em O(a, b) e raio r é dada por:
Isso significa que qualquer ponto que esteja na circunferência satisfaz essa equação.
Passo 3
Como os pontos A, B e C estão na circunferência, a distância de cada um deles até o centro O(a, b) é igual ao raio r. Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para expressar isso.
A distância entre A(5, 0) e O(a, b) é:
A distância entre B(4, 3) e O(a, b) é:
E a distância entre C(-4, -3) e O(a, b) é:
Passo 4
Como todas essas distâncias são iguais a r, podemos igualar duas a duas para eliminar o r e formar um sistema de equações. Vamos igualar a distância de A a O com a de B a O, e a distância de A a O com a de C a O.
Primeiro, igualamos A e B:
Passo 5
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo os termos:
Passo 6
Simplificando a equação:
Observamos que os termos
e
aparecem em ambos os lados e se cancelam:
Passo 7
Vamos reorganizar os termos para isolar as incógnitas:
Dividindo ambos os lados por -2:
Passo 8
Agora, vamos igualar a distância de A a O com a de C a O:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 9
Expandindo os termos:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam novamente:
Passo 10
Reorganizando os termos para isolar as incógnitas:
Dividindo ambos os lados por 6:
Passo 11
Agora temos duas expressões para a e b:
Vamos substituir a primeira na segunda:
Somando 9b aos dois lados:
Passo 12
Com b = 0, podemos encontrar a usando
:
Passo 13
Agora que temos o centro da circunferência O(0, 0), vamos encontrar o raio r usando a distância de O a qualquer um dos pontos, por exemplo, o ponto A(5, 0):
Resposta
A equação da circunferência é: