determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
Passo 1
Enunciado: foi dada a equação diferencial
O que se pede: determinar se essa equação é (a) separável, (b) linear, (c) nenhuma das anteriores, ou (d) ambas.
Informações fornecidas: a equação relaciona ,
e
; aparecem as funções
e
.
Informações fornecidas: a equação relaciona
Passo 2
Primeiro passo técnico: isolar
para ver a forma do lado direito. Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Escrevendo de forma mais explícita:
Passo 3
Definição e verificação de linearidade (aula rápida). Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear se pode ser escrita na forma padrão
onde
e
são funções que dependem só de
. Aqui, a equação do Passo 2 pode ser rearranjada em
Comparando com a forma padrão, temos
que dependem apenas de
. Portanto a equação é uma equação linear de primeira ordem.
Explicação didática extra (como resolveria na prova): para uma equação linear
usa-se o fator integrante
multiplica-se toda a equação por
e obtém-se
, que integra-se em seguida. Aqui
; esse integral não é elementar simples, mas o procedimento é esse.
Passo 4
Definição e teste de separabilidade (aula rápida). Uma equação é separável se pode ser escrita como
isto é, o lado direito é produto de uma função só de
por uma função só de
. Vou testar se a expressão que temos pode ser escrita assim.
A forma que encontramos é
Se fosse separável então existiriam
e
tais que
Uma maneira prática e rigorosa de verificar separabilidade é observar a dependência em
. Calcule a derivada parcial do lado direito em relação a
:
Se o lado direito fosse
, então
e o quociente
dependeria apenas de
. Para nossa expressão o quociente é
que depende simultaneamente de
e de
(não é função só de
). Logo não é possível escrever o lado direito como
para todas as
. Portanto a equação NÃO é separável.
Passo 5
Discussão sobre possibilidade de ser “ambas”. Há casos em que uma equação é simultaneamente linear e separável, por exemplo
é linear (com
,
) e também separável (escreve-se
). No entanto, a nossa equação não tem essa forma: o termo livre
impede que o lado direito seja apenas produto de função de
por função de
, e a dependência afim em
mostra que ela é linear não-separável. Assim, não é o caso de ser “ambas”.
Resposta
linear