determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
3 t=e^{t} \frac{d y}{d t}+y \ln t

Passo 1

Enunciado: foi dada a equação diferencial
3t = e^{t}\,\frac{dy}{dt} + y\ln t.
O que se pede: determinar se essa equação é (a) separável, (b) linear, (c) nenhuma das anteriores, ou (d) ambas.
Informações fornecidas: a equação relaciona t, y e \dfrac{dy}{dt}; aparecem as funções e^{t} e \ln t.

Passo 2

Primeiro passo técnico: isolar \dfrac{dy}{dt} para ver a forma do lado direito. Subtraindo y\ln t e dividindo por e^{t} obtemos
\frac{dy}{dt} = e^{-t}\bigl(3t - y\ln t\bigr).
Escrevendo de forma mais explícita:
\frac{dy}{dt} = 3t\,e^{-t} - y\,e^{-t}\ln t.

Passo 3

Definição e verificação de linearidade (aula rápida). Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear se pode ser escrita na forma padrão
\frac{dy}{dt} + p(t)\,y = q(t),
onde p(t) e q(t) são funções que dependem só de t. Aqui, a equação do Passo 2 pode ser rearranjada em
\frac{dy}{dt} + \bigl(e^{-t}\ln t\bigr)\,y = 3t\,e^{-t}.
Comparando com a forma padrão, temos
p(t)=e^{-t}\ln t,\qquad q(t)=3t\,e^{-t},
que dependem apenas de t. Portanto a equação é uma equação linear de primeira ordem.
Explicação didática extra (como resolveria na prova): para uma equação linear \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=q(t) usa-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr),
multiplica-se toda a equação por \mu(t) e obtém-se \dfrac{d}{dt}\bigl(\mu(t)y\bigr)=\mu(t)q(t), que integra-se em seguida. Aqui \mu(t)=\exp\!\bigl(\int e^{-t}\ln t\,dt\bigr); esse integral não é elementar simples, mas o procedimento é esse.

Passo 4

Definição e teste de separabilidade (aula rápida). Uma equação é separável se pode ser escrita como
\frac{dy}{dt}=F(t)\,G(y),
isto é, o lado direito é produto de uma função só de t por uma função só de y. Vou testar se a expressão que temos pode ser escrita assim.
A forma que encontramos é
\frac{dy}{dt}=e^{-t}\bigl(3t - y\ln t\bigr).
Se fosse separável então existiriam F(t) e G(y) tais que
e^{-t}\bigl(3t - y\ln t\bigr)=F(t)\,G(y)\quad\text{para todos }t,y.
Uma maneira prática e rigorosa de verificar separabilidade é observar a dependência em y. Calcule a derivada parcial do lado direito em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl[e^{-t}\bigl(3t - y\ln t\bigr)\Bigr] = -e^{-t}\ln t.
Se o lado direito fosse F(t)G(y), então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(F(t)G(y)\bigr)=F(t)G'(y),
e o quociente
\frac{\frac{\partial}{\partial y}[F(t)G(y)]}{F(t)G(y)}=\frac{G'(y)}{G(y)}
dependeria apenas de y. Para nossa expressão o quociente é
\frac{-e^{-t}\ln t}{e^{-t}(3t - y\ln t)}=\frac{-\ln t}{3t - y\ln t},
que depende simultaneamente de t e de y (não é função só de y). Logo não é possível escrever o lado direito como F(t)G(y) para todas as t,y. Portanto a equação NÃO é separável.

Passo 5

Discussão sobre possibilidade de ser “ambas”. Há casos em que uma equação é simultaneamente linear e separável, por exemplo
\frac{dy}{dt}=a(t)\,y
é linear (com p(t)=-a(t), q(t)=0) e também separável (escreve-se \dfrac{1}{y}dy=a(t)dt). No entanto, a nossa equação não tem essa forma: o termo livre 3t\,e^{-t} impede que o lado direito seja apenas produto de função de t por função de y, e a dependência afim em y mostra que ela é linear não-separável. Assim, não é o caso de ser “ambas”.

Resposta

linear

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