Determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se determine se ela é (a) separável, (b) linear, (c) nenhuma das anteriores, ou (d) ambas. A incógnita é
. Vou listar claramente o que foi dado:
- Equação:
. - Pedido: classificar a equação entre as opções: separável, linear, nenhuma ou ambas.
Passo 2
Definições e testes que vou usar (explicados de forma direta e com exemplos rápidos).
- Linear (equação de primeira ordem): uma equação é linear em
se pode ser escrita na forma
onde
e
são funções apenas de
. Aqui a incógnita
e sua derivada aparecem com expoente 1 e não multiplicadas entre si. Exemplo:
é linear.
- Separable (separável): é separável se pode ser posta na forma
ou equivalentemente separando variáveis em
ou seja, um lado depende só de
e o outro só de
. Exemplo:
é separável porque
.
Vou aplicar esses testes à equação dada.
Passo 3
Testando linearidade.
Começo por tentar pôr a equação na forma padrão linear. A equação dada é
Posso dividir ambos os lados por
apenas quando
; fazendo isso obtenho
Reescrevendo,
Para ser linear em
eu precisaria de uma forma
. Observe que na expressão acima aparece
, ou seja, aparece
no denominador (função não-linear de
). Além disso, na forma original há o termo
, que é produto entre
e
— isso viola a condição de linearidade (na linearidade não se permitem produtos entre a incógnita e suas derivadas).
Logo: a equação não é linear.
Passo 4
Testando separabilidade.
Uma equação é separável se
pode ser escrita como produto de uma função só de
por uma função só de
. A partir da equação temos, como já escrevemos,
Essa expressão é soma (diferença) de duas parcelas: uma é
e a outra é
. Para ser produto
as duas parcelas teriam que combinar de modo a fatorar numa única expressão
. Não é possível escrever
com
dependendo só de
e
só de
, porque a presença do termo puro em
,
, impede qualquer fatoração que retire todo o
para um único fator (a parcela
não contém
). Outra maneira de ver: ao tentar separar variáveis obtém-se
e não há uma maneira de rearranjar isso para
onde o lado esquerdo dependa só de
e o direito só de
.
Portanto a equação não é separável.
Passo 5
Verificação de transformações usuais (checar se alguma substituição simples transforma a equação em linear ou separável).
- Observação útil:
. Então a equação pode ser escrita como
Se eu definir
então
e a equação vira
ou seja
Mas aí reaparece
(ou
), então a equação em
fica com raiz de
— não linear e não separável em geral. Essa substituição não dá uma equação linear ou separável simples (além de introduzir problemas de sinal e raiz).
- Outras substituições simples (por exemplo
ou ) também não transformam evidentemente a equação numa forma linear ou separável sem introduzir mistura de e .
Conclui-se que não existe transformação simples e natural que transforme essa equação em uma linear ou separável (no nível de primeiros métodos vistos em aulas de EDO de primeira ordem).
Passo 6
Resumo do raciocínio (para ficar bem claro como decidir na prova):
-
Linear: a presença do termo
(produto entre e ) e a forma final com impedem escrever a equação como . Logo não é linear. -
Separable: ao isolar
obtém-se , que não é um produto . Não há forma de separar as variáveis em . Logo não é separável.
Portanto a classificação correta é que a equação não é nem separável nem linear.
Resposta
nenhuma