Determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
x \frac{d x}{d t}+t^{2} x=\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\frac{dx}{dt}+t^{2}x=\sin t
e pede que se determine se ela é (a) separável, (b) linear, (c) nenhuma das anteriores, ou (d) ambas. A incógnita é x=x(t). Vou listar claramente o que foi dado:
  • Equação: \displaystyle x\frac{dx}{dt}+t^{2}x=\sin t.
  • Pedido: classificar a equação entre as opções: separável, linear, nenhuma ou ambas.

Passo 2

Definições e testes que vou usar (explicados de forma direta e com exemplos rápidos).
  • Linear (equação de primeira ordem): uma equação é linear em x se pode ser escrita na forma
\frac{dx}{dt}+p(t)\,x=q(t),
onde p(t) e q(t) são funções apenas de t. Aqui a incógnita x e sua derivada aparecem com expoente 1 e não multiplicadas entre si. Exemplo: \dfrac{dx}{dt}+t\,x=\sin t é linear.
  • Separable (separável): é separável se pode ser posta na forma
\frac{dx}{dt}=f(t)\,g(x),
ou equivalentemente separando variáveis em
\frac{1}{g(x)}\,dx = f(t)\,dt,
ou seja, um lado depende só de x e o outro só de t. Exemplo: \dfrac{dx}{dt}=t\,x^{2} é separável porque \dfrac{dx}{dt}= (t)\,(x^{2}).
Vou aplicar esses testes à equação dada.

Passo 3

Testando linearidade.
Começo por tentar pôr a equação na forma padrão linear. A equação dada é
x\frac{dx}{dt}+t^{2}x=\sin t.
Posso dividir ambos os lados por x apenas quando x\neq0; fazendo isso obtenho
\frac{dx}{dt}+t^{2}=\frac{\sin t}{x}.
Reescrevendo,
\frac{dx}{dt}=\frac{\sin t}{x}-t^{2}.
Para ser linear em x eu precisaria de uma forma \dfrac{dx}{dt}+p(t)x=q(t). Observe que na expressão acima aparece \dfrac{\sin t}{x}, ou seja, aparece x no denominador (função não-linear de x). Além disso, na forma original há o termo x\cdot\frac{dx}{dt}, que é produto entre x e \frac{dx}{dt} — isso viola a condição de linearidade (na linearidade não se permitem produtos entre a incógnita e suas derivadas).
Logo: a equação não é linear.

Passo 4

Testando separabilidade.
Uma equação é separável se \dfrac{dx}{dt} pode ser escrita como produto de uma função só de t por uma função só de x. A partir da equação temos, como já escrevemos,
\frac{dx}{dt}=\frac{\sin t}{x}-t^{2}.
Essa expressão é soma (diferença) de duas parcelas: uma é \dfrac{\sin t}{x} e a outra é -t^{2}. Para ser produto f(t)g(x) as duas parcelas teriam que combinar de modo a fatorar numa única expressão f(t)\,g(x). Não é possível escrever
\frac{\sin t}{x}-t^{2}=f(t)\,g(x)
com f dependendo só de t e g só de x, porque a presença do termo puro em t, -t^{2}, impede qualquer fatoração que retire todo o x para um único fator (a parcela -t^{2} não contém x). Outra maneira de ver: ao tentar separar variáveis obtém-se
dx=\frac{\sin t}{x}\,dt - t^{2}\,dt,
e não há uma maneira de rearranjar isso para h(x)\,dx = k(t)\,dt onde o lado esquerdo dependa só de x e o direito só de t.
Portanto a equação não é separável.

Passo 5

Verificação de transformações usuais (checar se alguma substituição simples transforma a equação em linear ou separável).
  • Observação útil: x\frac{dx}{dt}=\tfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(x^{2}). Então a equação pode ser escrita como
\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(x^{2})+t^{2}x=\sin t.
Se eu definir y=x^{2} então \dfrac{dy}{dt}=2x\frac{dx}{dt} e a equação vira
\frac{1}{2}\frac{dy}{dt}+t^{2}x=\sin t,
ou seja
\frac{dy}{dt}+2t^{2}x=2\sin t.
Mas aí reaparece x=\sqrt{y} (ou -\sqrt{y}), então a equação em y fica com raiz de y — não linear e não separável em geral. Essa substituição não dá uma equação linear ou separável simples (além de introduzir problemas de sinal e raiz).
  • Outras substituições simples (por exemplo u=1/x ou u=x^n) também não transformam evidentemente a equação numa forma linear ou separável sem introduzir mistura de t e x.
Conclui-se que não existe transformação simples e natural que transforme essa equação em uma linear ou separável (no nível de primeiros métodos vistos em aulas de EDO de primeira ordem).

Passo 6

Resumo do raciocínio (para ficar bem claro como decidir na prova):
  • Linear: a presença do termo x\frac{dx}{dt} (produto entre x e \dfrac{dx}{dt}) e a forma final com \dfrac{\sin t}{x} impedem escrever a equação como \dfrac{dx}{dt}+p(t)x=q(t). Logo não é linear.
  • Separable: ao isolar \dfrac{dx}{dt} obtém-se \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{\sin t}{x}-t^{2}, que não é um produto f(t)g(x). Não há forma de separar as variáveis em h(x)\,dx=k(t)\,dt. Logo não é separável.
Portanto a classificação correta é que a equação não é nem separável nem linear.

Resposta

nenhuma

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