Determine se a equação diferencial dada é:
\frac{d y}{d x}-\operatorname{sen}(x+y)=0

Passo 1

Enunciado e o que se pede (o que foi dado e o que vou responder).
  • A equação diferencial dada é \dfrac{dy}{dx}-\sin(x+y)=0.
  • Vou:
    1. Identificar a que tipo(s) a equação pertence (linear, separável, exata, etc.).
    2. Encontrar a solução geral (pelo menos implicitamente).

Passo 2

Reescrever a equação numa forma mais direta para análise.
  • Somando \sin(x+y) aos dois lados, obtenho \frac{dy}{dx}=\sin(x+y).
  • Esta é uma equação de primeira ordem envolvendo y(x). A partir daqui vamos testar as classificações usuais (linearidade, separabilidade, exatidão) e procurar um método prático de solução.

Passo 3

Teste de linearidade (equação linear de 1ª ordem tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) ).
  • Aqui o termo do lado direito é \sin(x+y), que depende de y de forma não-linear (seno aplicado a x+y).
  • Portanto não é possível escrever a equação na forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) com P,Q funções só de x.
  • Conclusão: a equação não é linear em y.

Passo 4

Teste de separabilidade direta (procurar escrever \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y) ).
  • Escrever \sin(x+y) em termos de x e y separadamente dá \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y, que é soma de termos mistos, não um produto g(x)h(y).
  • Logo, a equação não é separável diretamente nas variáveis x e y.

Passo 5

Teste de exatidão (escrever na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 e verificar \partial M/\partial y=\partial N/\partial x).
  • Reescrevendo: -\sin(x+y)\,dx + 1\cdot dy = 0,então M(x,y)=-\sin(x+y) e N(x,y)=1.
  • Calcular derivadas parciais: \frac{\partial M}{\partial y}=-\cos(x+y),\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
  • Como -\cos(x+y)\neq 0 em geral, não são iguais. Portanto a forma não é exata.

Passo 6

Observação que aponta uma técnica útil: dependência apenas de x+y.
  • O lado direito \sin(x+y) depende apenas da combinação x+y. Isso sugere a substituição clássica u = x+y.
  • Explico a ideia: se a função aparece apenas na combinação x+y (ou x-y), às vezes é conveniente passar para essa nova variável u porque a derivada de u em relação a x envolve \dfrac{dy}{dx} de forma simples.

Passo 7

Fazer a substituição u=x+y e transformar a EDO.
  • Diferenciando u em relação a x, \frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}.
  • Como \dfrac{dy}{dx}=\sin(x+y)=\sin u, substituo: \frac{du}{dx}=1+\sin u.
  • Esta equação é agora separável: a dependência mistura só u do lado direito.

Passo 8

Separar as variáveis e integrar.
  • Separe as variáveis: \frac{du}{1+\sin u}=dx.
  • Integro ambos os lados: \int \frac{du}{1+\sin u}=\int dx = x + C,com C constante de integração.
  • Agora preciso calcular \displaystyle \int \dfrac{du}{1+\sin u}. Faço o truque algébrico clássico: multiplicar numerador e denominador por 1-\sin u: \frac{1}{1+\sin u}=\frac{1-\sin u}{(1+\sin u)(1-\sin u)}=\frac{1-\sin u}{1-\sin^2 u}=\frac{1-\sin u}{\cos^2 u}.
  • Então \int \frac{du}{1+\sin u}=\int\frac{1-\sin u}{\cos^2 u}\,du.
  • Separe a fração: \frac{1-\sin u}{\cos^2 u}=\frac{1}{\cos^2 u}-\frac{\sin u}{\cos^2 u}=\operatorname{sec}^2 u - \operatorname{sec} u\tan u.
  • Integro termo a termo, lembrando que \dfrac{d}{du}(\tan u)=\operatorname{sec}^2 u e \dfrac{d}{du}(\operatorname{sec} u)=\operatorname{sec} u\tan u: \int\big(\operatorname{sec}^2 u - \operatorname{sec} u\tan u\big)\,du = \tan u - \operatorname{sec} u + C_1.
  • Portanto a integração dá \tan u - \operatorname{sec} u = x + C,onde absorvi constantes em C.

Passo 9

Voltar à variável original y.
  • Lembrando u=x+y, a solução implícita geral é \tan(x+y)-\operatorname{sec}(x+y)=x+C.
  • Esta é uma forma implícita aceitável da solução geral. Isolar y explicitamente seria possível, mas resultaria numa expressão complicada (envolvendo inversas de combinações de \tan e \operatorname{sec}), então deixamos na forma implícita.

Passo 10

Resumo didático e interpretação final (como fazer na prova).
  • Passos práticos para a prova:
    1. Verifique linearidade escrevendo na forma padrão; se tiver \sin(x+y) não é linear.
    2. Teste separabilidade direta; se não for, veja se a dependência é de uma combinação x\pm y.
    3. Quando a equação depende só de x+y (ou x-y), tente u=x+y (ou u=x-y); isso costuma reduzir a um ODE separável.
    4. Separe e integre com cuidado — se surgir 1+\sin u use o truque multiplicar por 1-\sin u para simplificar.
  • Dica de memorização: sempre que o argumento de uma função for x+y ou x-y, experimente a substituição por u; é um padrão muito útil.

Resposta

A equação não é linear nem separável diretamente nem exata; porém pode ser reduzida a uma equação separável pela substituição u=x+y.
A solução geral (implícita) é \tan(x+y)-\operatorname{sec}(x+y)=x+C.

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