Determine se a equação diferencial dada é:
\frac{d y}{d x}-\operatorname{sen}(x+y)=0
\frac{d y}{d x}-\operatorname{sen}(x+y)=0
Passo 1
Enunciado e o que se pede (o que foi dado e o que vou responder).
- A equação diferencial dada é
. - Vou:
- Identificar a que tipo(s) a equação pertence (linear, separável, exata, etc.).
- Encontrar a solução geral (pelo menos implicitamente).
Passo 2
Reescrever a equação numa forma mais direta para análise.
- Somando
aos dois lados, obtenho - Esta é uma equação de primeira ordem envolvendo
. A partir daqui vamos testar as classificações usuais (linearidade, separabilidade, exatidão) e procurar um método prático de solução.
Passo 3
Teste de linearidade (equação linear de 1ª ordem tem a forma
).
- Aqui o termo do lado direito é
, que depende de de forma não-linear (seno aplicado a ). - Portanto não é possível escrever a equação na forma
com funções só de . - Conclusão: a equação não é linear em
.
Passo 4
Teste de separabilidade direta (procurar escrever
).
- Escrever
em termos de e separadamente dá , que é soma de termos mistos, não um produto . - Logo, a equação não é separável diretamente nas variáveis
e .
Passo 5
Teste de exatidão (escrever na forma
e verificar
).
- Reescrevendo:
então e . - Calcular derivadas parciais:
- Como
em geral, não são iguais. Portanto a forma não é exata.
Passo 6
Observação que aponta uma técnica útil: dependência apenas de
.
- O lado direito
depende apenas da combinação . Isso sugere a substituição clássica - Explico a ideia: se a função aparece apenas na combinação
(ou ), às vezes é conveniente passar para essa nova variável porque a derivada de em relação a envolve de forma simples.
Passo 7
Fazer a substituição
e transformar a EDO.
- Diferenciando
em relação a , - Como
, substituo: - Esta equação é agora separável: a dependência mistura só
do lado direito.
Passo 8
Separar as variáveis e integrar.
- Separe as variáveis:
- Integro ambos os lados:
com constante de integração. - Agora preciso calcular
. Faço o truque algébrico clássico: multiplicar numerador e denominador por : - Então
- Separe a fração:
- Integro termo a termo, lembrando que
e : - Portanto a integração dá
onde absorvi constantes em .
Passo 9
Voltar à variável original
.
- Lembrando
, a solução implícita geral é - Esta é uma forma implícita aceitável da solução geral. Isolar
explicitamente seria possível, mas resultaria numa expressão complicada (envolvendo inversas de combinações de e ), então deixamos na forma implícita.
Passo 10
Resumo didático e interpretação final (como fazer na prova).
- Passos práticos para a prova:
- Verifique linearidade escrevendo na forma padrão; se tiver
não é linear. - Teste separabilidade direta; se não for, veja se a dependência é de uma combinação
. - Quando a equação depende só de
(ou ), tente (ou ); isso costuma reduzir a um ODE separável. - Separe e integre com cuidado — se surgir
use o truque multiplicar por para simplificar.
- Verifique linearidade escrevendo na forma padrão; se tiver
- Dica de memorização: sempre que o argumento de uma função for
ou , experimente a substituição por ; é um padrão muito útil.
Resposta
A equação não é linear nem separável diretamente nem exata; porém pode ser reduzida a uma equação separável pela substituição
.
A solução geral (implícita) é .
A solução geral (implícita) é