Determine se a equação diferencial dada é:
\frac{d y}{d x}=4 y^{2}-3 y+1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=4y^{2}-3y+1.
O que se pede (vou resolver ambas as coisas, porque normalmente quem pergunta isso quer):
  • Classificar a equação (tipo: ordem, linearidade, se é autônoma, separável, etc.).
  • Encontrar a solução geral (integrar e isolar y em função de x).

Passo 2

Observações imediatas sobre a equação dada (lista de informações que já temos):
  • É uma equação envolvendo \dfrac{dy}{dx}, ou seja, é de primeira ordem (apenas a primeira derivada aparece).
  • O membro direito depende somente de y e não de x. Logo a equação é autônoma (a lei não depende explicitamente de x).
  • Há um termo y^{2} no membro direito, então a equação é não linear. Mais precisamente, ela tem a forma
\frac{dy}{dx}=a y^{2}+b y+c
com a=4, b=-3, c=1; essa forma é conhecida como equação do tipo Riccati (quando há termo quadrático em y).
  • Como o membro direito depende apenas de y, a equação é separável: pode-se escrever todos os y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 3

Aplicar o método da separação de variáveis (explicando o porquê): se \dfrac{dy}{dx}=f(y), então pode-se rearranjar como
\frac{1}{f(y)}\,dy=dx,
e integrar ambos os lados. Aqui f(y)=4y^{2}-3y+1. Então separamos:
\frac{dy}{4y^{2}-3y+1}=dx.
Agora precisamos calcular a integral indefinida à esquerda.

Passo 4

Integrar a expressão \displaystyle\int\frac{dy}{4y^{2}-3y+1}. Vou transformar o denominador para uma forma que dê arctan ao integrar — técnica: completar o quadrado.
Começo escrevendo o polinômio em y completando o quadrado:
4y^{2}-3y+1=4\Big(y^{2}-\frac{3}{4}y\Big)+1.
Agora complete o quadrado dentro do parêntese:
y^{2}-\frac{3}{4}y=\Big(y-\frac{3}{8}\Big)^{2}-\Big(\frac{3}{8}\Big)^{2} =\Big(y-\frac{3}{8}\Big)^{2}-\frac{9}{64}.
Substituindo:
4y^{2}-3y+1=4\Big(\Big(y-\frac{3}{8}\Big)^{2}-\frac{9}{64}\Big)+1 =4\Big(y-\frac{3}{8}\Big)^{2}-\frac{36}{64}+1.
Calcule -\dfrac{36}{64}+1:
-\frac{36}{64}+1=-\frac{36}{64}+\frac{64}{64}=\frac{28}{64}=\frac{7}{16}.
Logo
4y^{2}-3y+1=4\Big(y-\frac{3}{8}\Big)^{2}+\frac{7}{16}.
Factorando 4:
4y^{2}-3y+1=4\left[\Big(y-\frac{3}{8}\Big)^{2}+\frac{7}{64}\right].

Passo 5

Usando a forma obtida, a integral fica
\int\frac{dy}{4y^{2}-3y+1} =\int\frac{dy}{4\left[\Big(y-\frac{3}{8}\Big)^{2}+\frac{7}{64}\right]} =\frac{1}{4}\int\frac{dy}{\Big(y-\frac{3}{8}\Big)^{2}+\frac{7}{64}}.
Faça a substituição u=y-\dfrac{3}{8}, então du=dy. A integral transforma-se em
\frac{1}{4}\int\frac{du}{u^{2}+\frac{7}{64}}.
Reescrevendo \dfrac{7}{64}=\left(\dfrac{\sqrt{7}}{8}\right)^{2}, temos a forma padrão
\int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+\text{const}.
Aplicando com a=\dfrac{\sqrt{7}}{8}:
\frac{1}{4}\int\frac{du}{u^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{7}}{8}\right)^{2}} =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\dfrac{\sqrt{7}}{8}}\arctan\!\left(\frac{u}{\dfrac{\sqrt{7}}{8}}\right)+C.
Simplificando o fator:
\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}.
E lembrando u=y-\dfrac{3}{8} e que \dfrac{u}{\dfrac{\sqrt{7}}{8}}=\dfrac{8u}{\sqrt{7}}=\dfrac{8y-3}{\sqrt{7}}, obtemos
\int\frac{dy}{4y^{2}-3y+1}=\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan\!\left(\frac{8y-3}{\sqrt{7}}\right)+C.

Passo 6

Volte à igualdade separada e integre o lado direito:
\int\frac{dy}{4y^{2}-3y+1}=\int dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{\sqrt{7}}\arctan\!\left(\frac{8y-3}{\sqrt{7}}\right)=x+C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 7

Isolar y: multiplique por \dfrac{\sqrt{7}}{2} e aplique a tangente:
\arctan\!\left(\frac{8y-3}{\sqrt{7}}\right)=\frac{\sqrt{7}}{2}(x+C)
\frac{8y-3}{\sqrt{7}}=\tan\!\left(\frac{\sqrt{7}}{2}(x+C)\right).
Assim
8y-3=\sqrt{7}\,\tan\!\left(\frac{\sqrt{7}}{2}(x+C)\right)
e finalmente
y(x)=\frac{3+\sqrt{7}\,\tan\!\left(\dfrac{\sqrt{7}}{2}(x+C)\right)}{8}.
Pode-se renomear a constante \dfrac{\sqrt{7}}{2}C por uma constante \;C_{1} e escrever de forma equivalente
y(x)=\frac{3+\sqrt{7}\,\tan\!\left(\dfrac{\sqrt{7}}{2}x+C_{1}\right)}{8}.

Passo 8

Comentários finais sobre domínio e singularidades (importante para a prova): a função tangente tem singularidades (assinadas por valores de x onde o argumento da tangente é \dfrac{\pi}{2}+\pi k), o que corresponde a soluções que têm assíntotas verticais em certos valores de x. Essas descontinuidades são normais aqui porque a integração envolveu \arctan e depois inversão por \tan. Fora isso, a solução geral acima descreve todas as soluções implícitas/ explícitas da equação separável original.

Resposta

A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, autônoma, não linear (forma quadrática — Riccati com coeficientes constantes) e separável.
y(x)=\dfrac{3+\sqrt{7}\,\tan\!\left(\dfrac{\sqrt{7}}{2}x+C_{1}\right)}{8}

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