Determine se a equação diferencial dada é:
\frac{d y}{d x}=4 y^{2}-3 y+1
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=4y^{2}-3y+1.
O que se pede (vou resolver ambas as coisas, porque normalmente quem pergunta isso quer):
Classificar a equação (tipo: ordem, linearidade, se é autônoma, separável, etc.).
Encontrar a solução geral (integrar e isolar y em função de x).
Passo 2
Observações imediatas sobre a equação dada (lista de informações que já temos):
É uma equação envolvendo \dfrac{dy}{dx}, ou seja, é de primeira ordem (apenas a primeira derivada aparece).
O membro direito depende somente de y e não de x. Logo a equação é autônoma (a lei não depende explicitamente de x).
Há um termo y^{2} no membro direito, então a equação é não linear. Mais precisamente, ela tem a forma
\frac{dy}{dx}=a y^{2}+b y+c
com a=4, b=-3, c=1; essa forma é conhecida como equação do tipo Riccati (quando há termo quadrático em y).
Como o membro direito depende apenas de y, a equação é separável: pode-se escrever todos os y de um lado e x do outro para integrar.
Passo 3
Aplicar o método da separação de variáveis (explicando o porquê): se \dfrac{dy}{dx}=f(y), então pode-se rearranjar como
\frac{1}{f(y)}\,dy=dx,
e integrar ambos os lados. Aqui f(y)=4y^{2}-3y+1. Então separamos:
\frac{dy}{4y^{2}-3y+1}=dx.
Agora precisamos calcular a integral indefinida à esquerda.
Passo 4
Integrar a expressão \displaystyle\int\frac{dy}{4y^{2}-3y+1}. Vou transformar o denominador para uma forma que dê arctan ao integrar — técnica: completar o quadrado.
Começo escrevendo o polinômio em y completando o quadrado:
Comentários finais sobre domínio e singularidades (importante para a prova): a função tangente tem singularidades (assinadas por valores de x onde o argumento da tangente é \dfrac{\pi}{2}+\pi k), o que corresponde a soluções que têm assíntotas verticais em certos valores de x. Essas descontinuidades são normais aqui porque a integração envolveu \arctan e depois inversão por \tan. Fora isso, a solução geral acima descreve todas as soluções implícitas/ explícitas da equação separável original.
Resposta
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, autônoma, não linear (forma quadrática — Riccati com coeficientes constantes) e separável. y(x)=\dfrac{3+\sqrt{7}\,\tan\!\left(\dfrac{\sqrt{7}}{2}x+C_{1}\right)}{8}