Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está escrita em forma diferencial elementar envolvendo
e . - Há uma condição inicial que fixa o valor de
em : .
Passo 2
Identificar um método adequado (explicação didática). Observando a equação
podemos ver que ela é separável: é possível escrever os termos com
e
de um lado e os termos com
e
do outro. Outra observação útil é que a expressão é um diferencial exato de uma função simples (veja abaixo), mas a separação é direta e é a forma mais simples aqui.
Conceito rápido (separação de variáveis): se uma equação pode ser posta na forma
então integra-se ambos os lados:
obtendo uma relação entre
e
.
Aplicando isso, primeiro escrevemos a equação isolando os termos:
Passo 3
Integrar ambos os lados (explicando cada integral).
Calcule as integrais:
Calcule as integrais:
- À esquerda, usar a regra
e . Aqui:
- À direita,
.
Então a integração dá a relação
onde
é a constante de integração.
Observação: também se poderia ver que
, o que leva à mesma constante de integração.
Passo 4
Determinar a constante usando a condição inicial
.
Substituindo
e
em
:
Portanto a relação concreta é
Passo 5
Isolar
e escolher o ramo compatível com a condição inicial (explicando por que).
Da relação acima,
Como a condição inicial impõe
, devemos escolher o sinal positivo para que a solução passe por esse valor. Assim a solução do problema de valor inicial é
Domínio de validade: a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Portanto a solução real dada acima é válida para
. Em particular, existe e é única numa vizinhança de
até que a raiz se anule.