Resolva o problema de valor inicial:
x^{2} d x+2 y d y=0, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
x^{2}\,dx + 2y\,dy = 0, \qquad y(0)=2.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita em forma diferencial elementar envolvendo dx e dy.
  • Há uma condição inicial que fixa o valor de y em x=0: y(0)=2.

Passo 2

Identificar um método adequado (explicação didática). Observando a equação
x^{2}\,dx + 2y\,dy = 0,
podemos ver que ela é separável: é possível escrever os termos com y e dy de um lado e os termos com x e dx do outro. Outra observação útil é que a expressão é um diferencial exato de uma função simples (veja abaixo), mas a separação é direta e é a forma mais simples aqui.
Conceito rápido (separação de variáveis): se uma equação pode ser posta na forma
g(y)\,dy = h(x)\,dx,
então integra-se ambos os lados:
\int g(y)\,dy = \int h(x)\,dx + C,
obtendo uma relação entre y e x.
Aplicando isso, primeiro escrevemos a equação isolando os termos:
2y\,dy = -x^{2}\,dx.

Passo 3

Integrar ambos os lados (explicando cada integral).
Calcule as integrais:
\int 2y\,dy = \int -x^{2}\,dx.
  • À esquerda, usar a regra \int a u\,du = a\int u\,du e \int u\,du = \dfrac{u^{2}}{2}. Aqui:
\int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2} = y^{2}.
  • À direita, \int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3}.
Então a integração dá a relação
y^{2} = -\frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.
Observação: também se poderia ver que d\!\left(\tfrac{1}{3}x^{3}+y^{2}\right)=x^{2}dx+2y\,dy, o que leva à mesma constante de integração.

Passo 4

Determinar a constante usando a condição inicial y(0)=2.
Substituindo x=0 e y(0)=2 em \;y^{2} = -\dfrac{x^{3}}{3} + C\;:
2^{2} = -\frac{0^{3}}{3} + C \quad\Rightarrow\quad 4 = C.
Portanto a relação concreta é
y^{2} = 4 - \frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Isolar y e escolher o ramo compatível com a condição inicial (explicando por que).
Da relação acima,
y = \pm\sqrt{\,4 - \frac{x^{3}}{3}\,}.
Como a condição inicial impõe y(0)=2>0, devemos escolher o sinal positivo para que a solução passe por esse valor. Assim a solução do problema de valor inicial é
y(x) = \sqrt{\,4 - \frac{x^{3}}{3}\,}.
Domínio de validade: a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
4 - \frac{x^{3}}{3} \ge 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{3} \le 12 \quad\Leftrightarrow\quad x \le \sqrt[3]{12}.
Portanto a solução real dada acima é válida para x \in (-\infty,\;\sqrt[3]{12}]. Em particular, existe e é única numa vizinhança de x=0 até que a raiz se anule.

Resposta

y(x)=\sqrt{\,4-\dfrac{x^{3}}{3}\,}, com domínio x\le\sqrt[3]{12}.

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