Determine se a equação diferencial é exata. Se for, resolva-a:
(x+y)^{2} dx+(2 x y+x^{2}-1) dy=0, y(1)=1 (Se for exato tem que achar a constante)
(x+y)^{2} dx+(2 x y+x^{2}-1) dy=0, y(1)=1 (Se for exato tem que achar a constante)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com a condição inicial
.
Pede-se: determinar se a equação é exata e, caso seja, resolver a equação (achar a constante usando a condição inicial).
Pede-se: determinar se a equação é exata e, caso seja, resolver a equação (achar a constante usando a condição inicial).
Passo 2
Vou explicar o que significa uma equação do tipo
ser exata.
Se existe uma função tal que
Se existe uma função
então a equação é exata e a solução geral é dada implicitamente por
, onde
é constante.
O teste prático de exatidão é comparar derivadas parciais: se as funções e
têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conectado e
O teste prático de exatidão é comparar derivadas parciais: se as funções
então a equação é exata. Aqui as funções são polinômios (derivadas contínuas em todo
), então esse teste vale.
Passo 3
Identifico as funções
e
:
Passo 4
Calculo as derivadas parciais exigidas pelo teste:
Como
, temos
logo a equação é exata.
Passo 5
Porque a equação é exata, existe
com
e
.
O procedimento padrão agora é integrar em relação a
, tratando
como constante, e acrescentar uma função arbitrária de
(pois ao derivar em
essa função some).
O procedimento padrão agora é integrar
Passo 6
Integro
em relação a
:
Integrando termo a termo (lembrando que
é tratado como constante):
Portanto
onde
é uma função a determinar (apareceu como “constante” da integração em relação a
).
Passo 7
Agora uso a segunda condição
para achar
. Calculando
:
Isso deve ser igual a
. Igualando:
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Passo 8
Integro
em relação a
:
onde
é uma constante. Essa constante
pode ser incorporada à constante final da solução implícita, por isso normalmente escrevemos apenas um
no fim.
Passo 9
Reescrevendo
com
(absorvendo
em
), obtemos a função potencial:
A solução geral implícita da equação exata é
ou seja
(Se quiser, pode multiplicar tudo por
para eliminar o coeficiente
:
.)
Passo 10
Uso a condição inicial
para achar a constante
. Substituo
e
em
:
Logo
.