Determine se a equação diferencial é exata. Se for, resolva-a:
(x+y)^{2} dx+(2 x y+x^{2}-1) dy=0, y(1)=1 (Se for exato tem que achar a constante)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x+y)^{2}\,dx+(2xy+x^{2}-1)\,dy=0
com a condição inicial y(1)=1.
Pede-se: determinar se a equação é exata e, caso seja, resolver a equação (achar a constante usando a condição inicial).

Passo 2

Vou explicar o que significa uma equação do tipo M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 ser exata.
Se existe uma função \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y),
então a equação é exata e a solução geral é dada implicitamente por \psi(x,y)=C, onde C é constante.
O teste prático de exatidão é comparar derivadas parciais: se as funções M e N têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conectado e
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
então a equação é exata. Aqui as funções são polinômios (derivadas contínuas em todo \mathbb{R}^2), então esse teste vale.

Passo 3

Identifico as funções M e N:
M(x,y)=(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},
N(x,y)=2xy+x^{2}-1.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais exigidas pelo teste:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+2xy+y^{2}\big)=2x+2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xy+x^{2}-1\big)=2y+2x.
Como 2x+2y=2y+2x, temos
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
logo a equação é exata.

Passo 5

Porque a equação é exata, existe \psi(x,y) com \partial\psi/\partial x=M e \partial\psi/\partial y=N.
O procedimento padrão agora é integrar M em relação a x, tratando y como constante, e acrescentar uma função arbitrária de y (pois ao derivar em x essa função some).

Passo 6

Integro M em relação a x:
\psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int (x^{2}+2xy+y^{2})\,dx.
Integrando termo a termo (lembrando que y é tratado como constante):
\int x^{2}\,dx=\tfrac{1}{3}x^{3},\qquad \int 2xy\,dx=2y\cdot\tfrac{1}{2}x^{2}=x^{2}y,\qquad \int y^{2}\,dx=xy^{2}.
Portanto
\psi(x,y)=\tfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (apareceu como “constante” da integração em relação a x).

Passo 7

Agora uso a segunda condição \partial\psi/\partial y=N para achar h(y). Calculando \partial\psi/\partial y:
\frac{\partial \psi}{\partial y}=x^{2}+2xy+h'(y).
Isso deve ser igual a N(x,y)=2xy+x^{2}-1. Igualando:
x^{2}+2xy+h'(y)=x^{2}+2xy-1.
Subtraindo x^{2}+2xy dos dois lados obtemos
h'(y)=-1.

Passo 8

Integro h'(y)=-1 em relação a y:
h(y)=\int -1\,dy=-y+C_{0},
onde C_{0} é uma constante. Essa constante C_{0} pode ser incorporada à constante final da solução implícita, por isso normalmente escrevemos apenas um C no fim.

Passo 9

Reescrevendo \psi com h(y)=-y (absorvendo C_{0} em C), obtemos a função potencial:
\psi(x,y)=\tfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-y.
A solução geral implícita da equação exata é
\psi(x,y)=C,
ou seja
\tfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-y=C.
(Se quiser, pode multiplicar tudo por 3 para eliminar o coeficiente 1/3: x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}-3y=3C.)

Passo 10

Uso a condição inicial y(1)=1 para achar a constante C. Substituo x=1 e y=1 em \psi(x,y):
\psi(1,1)=\tfrac{1}{3}\cdot 1^{3}+1^{2}\cdot 1+1\cdot 1^{2}-1=\tfrac{1}{3}+1+1-1=\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{4}{3}.
Logo C=\tfrac{4}{3}.

Resposta

\tfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-y=\tfrac{4}{3}

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