(2,5) Dada a função f(x, y)=x e^{-x y}, determine no ponto P(1,0) :
a. As direções em que a derivada direcional tem valor -1 ;
b. A taxa de variação máxima e mínima de f e as direções em que isso ocorre.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.\n
  • O enunciado dá a função \,f(x,y)=x e^{-x y}\, e o ponto \,P(1,0)\,.\n
  • Pergunta (a): encontrar as direções (vetores unitários) em que a derivada direcional de f em P vale -1.\n
  • Pergunta (b): determinar a taxa de variação máxima e mínima de f em P e as direções (vetores unitários) em que essas taxas ocorrem.\n
  • Informação útil que vamos usar: a derivada direcional de f na direção de um vetor unitário \,u=(a,b)\, é o produto escalar entre o gradiente de f em P e u: \,D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u\,.

Passo 2

Conceito importante: gradiente e derivada direcional (aula curta e prática).\n
  • O gradiente de f, denotado \nabla f, é o vetor das derivadas parciais: \,\nabla f=(f_x,f_y)\,, onde \,f_x=\partial f/\partial x\, e \,f_y=\partial f/\partial y\,.\n
  • A interpretação: \nabla f(P) aponta na direção de maior crescimento instantâneo de f em P, e a magnitude \|\nabla f(P)\| é a taxa de variação máxima.\n
  • A derivada direcional na direção do vetor unitário \,u=(a,b)\, é \,D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u=f_x(P)\,a+f_y(P)\,b\,.\n
  • Observação prática: sempre verifique que u é unitário, isto é, \,a^2+b^2=1\,.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais gerais de f(x,y)=x e^{-x y} (passo a passo).\n
  • Vamos usar regra do produto e regra da cadeia. Escrevo f(x,y)=x\cdot e^{-xy}.\n
  • Derivada parcial em relação a x: \,f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x\big)\cdot e^{-xy}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-xy}\big)\,.\n
  • A primeira parte é 1\cdot e^{-xy}=e^{-xy}.\n
  • A segunda parte: \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-xy}\big)=e^{-xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(-xy)=e^{-xy}\cdot(-y)=-y e^{-xy}.\n
  • Assim \,f_x=e^{-xy}+x(-y)e^{-xy}=e^{-xy}(1-xy)\,.\n
  • Agora f_y: \,f_y=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{-xy}\big)=x\cdot e^{-xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(-xy)=x\cdot e^{-xy}\cdot(-x)=-x^2 e^{-xy}\,.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto \,P(1,0)\,.\n
  • Substituímos x=1 e y=0 nas fórmulas.\n
  • Para \,f_x(1,0)=e^{-1\cdot0}\big(1-1\cdot0\big)=e^{0}\cdot1=1\,.\n
  • Para \,f_y(1,0)=-1^2 e^{-1\cdot0}=-1\cdot e^{0}=-1\,.\n
  • Logo \,\nabla f(1,0)=(1,-1)\,.
  • Confere: esse vetor aponta na direção de crescimento rápido e tem magnitude \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.

Passo 5

Resolver (a): escrever a equação que as direções pedidas satisfazem.\n
  • Seja u=(a,b) um vetor unitário: \,a^2+b^2=1\,.\n
  • A derivada direcional em u é \,D_{u}f(1,0)=\nabla f(1,0)\cdot u=(1,-1)\cdot(a,b)=a-b\,.\n
  • Queremos as direções em que D_{u}f(1,0)=-1. Assim resolvemos o sistema\n \begin{cases} a-b=-1,\\[4pt] a^2+b^2=1. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para encontrar a e b (contas detalhadas).\n
  • Da primeira equação obtemos \,b=a+1\,.\n- Substituindo na condição de norma:\n a^2+(a+1)^2=1.\n
  • Desenvolvendo: a^2+a^2+2a+1=1.\n
  • Simplificando: 2a^2+2a+1-1=0\Rightarrow 2a^2+2a=0.\n
  • Fatorando: 2a(a+1)=0. Portanto \,a=0\, ou \,a=-1\,.\n
  • Para a=0: b=a+1=1. Isso dá o vetor unitário u=(0,1).\n
  • Para a=-1: b=a+1=0. Isso dá o vetor unitário u=(-1,0).\n
  • Conclusão: existem duas direções unitárias em que a derivada direcional vale -1: \,(0,1) e (-1,0).\n
  • (Cheque rápido: para u=(0,1) temos a-b=0-1=-1. Para u=(-1,0) temos -1-0=-1. OK.)

Passo 7

Resolver (b): entender taxa de variação máxima e mínima (explicação conceptual).\n
  • Teorema prático: para qualquer ponto P, a taxa de variação máxima de f é \,\|\nabla f(P)\| e ocorre na direção do vetor unitário \,\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|}\,.\n
  • A taxa de variação mínima é -\|\nabla f(P)\| e ocorre na direção oposta -\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|}.\n
  • Por quê? Porque D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u=\|\nabla f(P)\|\,\|u\|\cos\theta=\|\nabla f(P)\|\cos\theta quando \|u\|=1. O máximo de \cos\theta é 1 (quando \theta=0, mesma direção) e o mínimo é -1 (quando \theta=\pi, direção oposta).

Passo 8

Aplicar isso no nosso gradiente \,\nabla f(1,0)=(1,-1)\,.\n
  • Magnitude: \,\|\nabla f(1,0)\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\,.\n
  • Direção de máximo (vetor unitário): \displaystyle \frac{\nabla f(1,0)}{\|\nabla f(1,0)\|}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}=\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big).\n
  • Direção de mínimo (vetor unitário): vetor oposto \displaystyle -\frac{\nabla f(1,0)}{\|\nabla f(1,0)\|}=\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big).\n
  • Portanto a taxa de variação máxima é \,\sqrt{2}\, (ocorre em \,\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)\,) e a mínima é -\sqrt{2} (ocorre em \,\big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)\,).

Passo 9

Resumo rápido e verificação intuitiva.\n
  • Faz sentido: o gradiente tem direção (1,-1), ou seja, crescer mais se aumentarmos x e diminuirmos y numa proporção igual; a magnitude \sqrt{2} é a taxa máxima. As direções encontradas em (a) correspondem a duas direções ortogonais particulares ao gradiente (não necessariamente ortogonais, mas satisfazem a condição pedida) que dão derivada -1.\n
  • Terminamos os cálculos e checagens.

Resposta

(a) (0,1) e (-1,0)\n
(b) taxa máxima =\sqrt{2} na direção \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right); taxa mínima =-\sqrt{2} na direção \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).

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