Dada a função
, determine no ponto
:
a. As direções em que a derivada direcional tem valor -1 ;
b. A taxa de variação máxima e mínima de
e as direções em que isso ocorre.
a. As direções em que a derivada direcional tem valor -1 ;
b. A taxa de variação máxima e mínima de
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.\n
- O enunciado dá a função
e o ponto .\n - Pergunta (a): encontrar as direções (vetores unitários) em que a derivada direcional de
em vale .\n - Pergunta (b): determinar a taxa de variação máxima e mínima de
em e as direções (vetores unitários) em que essas taxas ocorrem.\n - Informação útil que vamos usar: a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário é o produto escalar entre o gradiente de em e :
Passo 2
Conceito importante: gradiente e derivada direcional (aula curta e prática).\n
- O gradiente de
, denotado , é o vetor das derivadas parciais: , onde e .\n - A interpretação:
aponta na direção de maior crescimento instantâneo de em , e a magnitude é a taxa de variação máxima.\n - A derivada direcional na direção do vetor unitário
é \n - Observação prática: sempre verifique que
é unitário, isto é,
Passo 3
Calcular as derivadas parciais gerais de
(passo a passo).\n
- Vamos usar regra do produto e regra da cadeia. Escrevo
.\n - Derivada parcial em relação a
: \n - A primeira parte é
.\n - A segunda parte:
.\n - Assim
\n - Agora
:
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.\n
- Substituímos
e nas fórmulas.\n - Para
\n - Para
\n - Logo
- Confere: esse vetor aponta na direção de crescimento rápido e tem magnitude
.
Passo 5
Resolver (a): escrever a equação que as direções pedidas satisfazem.\n
- Seja
um vetor unitário: \n - A derivada direcional em
é \n - Queremos as direções em que
. Assim resolvemos o sistema\n ]
Passo 6
Resolver o sistema para encontrar
e
(contas detalhadas).\n
- Da primeira equação obtemos
\n- Substituindo na condição de norma:\n \n - Desenvolvendo:
.\n - Simplificando:
.\n - Fatorando:
. Portanto ou \n - Para
: . Isso dá o vetor unitário .\n - Para
: . Isso dá o vetor unitário .\n - Conclusão: existem duas direções unitárias em que a derivada direcional vale
: e .\n - (Cheque rápido: para
temos . Para temos . OK.)
Passo 7
Resolver (b): entender taxa de variação máxima e mínima (explicação conceptual).\n
- Teorema prático: para qualquer ponto
, a taxa de variação máxima de é e ocorre na direção do vetor unitário .\n - A taxa de variação mínima é
e ocorre na direção oposta .\n - Por quê? Porque
quando . O máximo de é (quando , mesma direção) e o mínimo é (quando , direção oposta).
Passo 8
Aplicar isso no nosso gradiente
.\n
- Magnitude:
\n - Direção de máximo (vetor unitário):
\n - Direção de mínimo (vetor unitário): vetor oposto
\n - Portanto a taxa de variação máxima é
(ocorre em ) e a mínima é (ocorre em ).
Passo 9
Resumo rápido e verificação intuitiva.\n
- Faz sentido: o gradiente tem direção
, ou seja, crescer mais se aumentarmos e diminuirmos numa proporção igual; a magnitude é a taxa máxima. As direções encontradas em (a) correspondem a duas direções ortogonais particulares ao gradiente (não necessariamente ortogonais, mas satisfazem a condição pedida) que dão derivada .\n - Terminamos os cálculos e checagens.
Resposta
(a)
e
\n
(b) taxa máxima na direção
; taxa mínima
na direção
.
(b) taxa máxima