(2,5) Determine a temperatura máxima e mínima de uma chapa circular x^{2}+ y^{2} \leq 9, sabendo que a temperatura em cada ponto da chapa é dada pela função T(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}+1.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a temperatura máxima e mínima na placa circular \,x^{2}+y^{2}\le 9\,, sabendo que a temperatura em cada ponto é
Objetivo: encontrar os pontos da placa onde T atinge o valor máximo e o valor mínimo, e calcular esses valores.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples e motivo da escolha):
Uma função contínua em um conjunto fechado e limitado (compacto) atinge máximo e mínimo absolutos (Teorema do Valor Extremo). A região \{x^{2}+y^{2}\le 9\} é compacta, e T é polinomial (logo contínua). Portanto os extremos ocorrem ou em pontos críticos do interior (onde o gradiente é zero) ou na fronteira x^{2}+y^{2}=9.
Vou então:
Procurar pontos críticos no interior resolvendo \nabla T=0. Isso é básico e rápido.
Analisar a fronteira usando parametrização x=3\cos t,\;y=3\sin t, que reduz o problema a uma função de uma variável trigonométrica — método simples e prático para círculos.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais e do gradiente (o que significa): o gradiente \nabla T reúne as derivadas parciais de T. As derivadas parciais são as taxas de variação de T em direção aos eixos x e y.
Calculemos:
\frac{\partial T}{\partial x}=2x-y,
\frac{\partial T}{\partial y}=-x+2y.
Logo
\nabla T(x,y)=\bigl(2x-y,\,-x+2y\bigr).
Passo 4
Encontrar pontos críticos no interior: resolvemos \nabla T=0\), isto é o sistema
\[\begin{cases} 2x-y=0,\\[4pt] -x+2y=0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=2x\]. Substituindo na segunda:
\[-x+2(2x)= -x+4x=3x=0 \implies x=0.\]
Então \(y=2x=0. O único ponto crítico é
(0,0).]
Passo 5
Avaliar T no ponto crítico:
T(0,0)=0^{2}-0\cdot0+0^{2}+1=1.
Passo 6
Classificação desse ponto crítico (aula rápida sobre Hessiana e convexidade): para funções de duas variáveis, a matriz Hessiana H contém as segundas derivadas e ajuda a classificar extremos. Aqui
Para verificar se H é positiva definida (o que indica mínimo local), olhamos os menores determinantes principais: 2>0 e \det H=2\cdot2-(-1)^{2}=4-1=3>0. Portanto H é positiva definida, então (0,0) é um mínimo local. Como T é quadrática e a Hessiana é positiva definida, T é convexa no plano e esse mínimo é global em \mathbb{R}^{2}. Em particular, é o mínimo na placa. Mas ainda precisamos checar a fronteira para possíveis máximos maiores.]
Passo 7
Analisar a fronteira \,x^{2}+y^{2}=9.\nParametrização do círculo: ponha
T(0,0)=1,\qquad \text{valores na fronteira estão entre }\tfrac{11}{2}=5{,}5\text{ e }\tfrac{29}{2}=14{,}5.ã
Como 1<\tfrac{11}{2}, o mínimo global na placa é 1 em (0,0). O máximo global na placa é \tfrac{29}{2}, atingido nos pontos \bigl(\tfrac{3}{\sqrt{2}},-\tfrac{3}{\sqrt{2}}\bigr) e \bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{2}},\tfrac{3}{\sqrt{2}}\bigr).
Resposta
Mínimo: T_{\min}=1 em (0,0).
Máximo: T_{\max}=\dfrac{29}{2} em \displaystyle\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{2}},-\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr) e \displaystyle\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{2}},\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr).