(2,5) Determine a temperatura máxima e mínima de uma chapa circular x^{2}+ y^{2} \leq 9, sabendo que a temperatura em cada ponto da chapa é dada pela função T(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}+1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a temperatura máxima e mínima na placa circular \,x^{2}+y^{2}\le 9\,, sabendo que a temperatura em cada ponto é
T(x,y)=x^{2}-xy+y^{2}+1.
Informações relevantes dadas:
\text{Região: } \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.ã
\text{Função temperatura: } T(x,y)=x^{2}-xy+y^{2}+1.çã
Objetivo: encontrar os pontos da placa onde T atinge o valor máximo e o valor mínimo, e calcular esses valores.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples e motivo da escolha):
Uma função contínua em um conjunto fechado e limitado (compacto) atinge máximo e mínimo absolutos (Teorema do Valor Extremo). A região \{x^{2}+y^{2}\le 9\} é compacta, e T é polinomial (logo contínua). Portanto os extremos ocorrem ou em pontos críticos do interior (onde o gradiente é zero) ou na fronteira x^{2}+y^{2}=9.
Vou então:
  1. Procurar pontos críticos no interior resolvendo \nabla T=0. Isso é básico e rápido.
  2. Analisar a fronteira usando parametrização x=3\cos t,\;y=3\sin t, que reduz o problema a uma função de uma variável trigonométrica — método simples e prático para círculos.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais e do gradiente (o que significa): o gradiente \nabla T reúne as derivadas parciais de T. As derivadas parciais são as taxas de variação de T em direção aos eixos x e y.
Calculemos:
\frac{\partial T}{\partial x}=2x-y,
\frac{\partial T}{\partial y}=-x+2y.
Logo
\nabla T(x,y)=\bigl(2x-y,\,-x+2y\bigr).

Passo 4

Encontrar pontos críticos no interior: resolvemos \nabla T=0\), isto é o sistema \[\begin{cases} 2x-y=0,\\[4pt] -x+2y=0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=2x\]. Substituindo na segunda: \[-x+2(2x)= -x+4x=3x=0 \implies x=0.\] Então \(y=2x=0. O único ponto crítico é
(0,0).]

Passo 5

Avaliar T no ponto crítico:
T(0,0)=0^{2}-0\cdot0+0^{2}+1=1.

Passo 6

Classificação desse ponto crítico (aula rápida sobre Hessiana e convexidade): para funções de duas variáveis, a matriz Hessiana H contém as segundas derivadas e ajuda a classificar extremos. Aqui
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}T}{\partial x\partial y}\\[4pt] \frac{\partial^{2}T}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] -1 & 2 \end{pmatrix}.
Para verificar se H é positiva definida (o que indica mínimo local), olhamos os menores determinantes principais: 2>0 e \det H=2\cdot2-(-1)^{2}=4-1=3>0. Portanto H é positiva definida, então (0,0) é um mínimo local. Como T é quadrática e a Hessiana é positiva definida, T é convexa no plano e esse mínimo é global em \mathbb{R}^{2}. Em particular, é o mínimo na placa. Mas ainda precisamos checar a fronteira para possíveis máximos maiores.]

Passo 7

Analisar a fronteira \,x^{2}+y^{2}=9.\nParametrização do círculo: ponha
x=3\cos t,\qquad y=3\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Substituindo em T:
T(3\cos t,3\sin t)= (3\cos t)^{2}-(3\cos t)(3\sin t)+(3\sin t)^{2}+1.
Calcule passo a passo:
(3\cos t)^{2}+(3\sin t)^{2}=9(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=9,
(3\cos t)(3\sin t)=9\cos t\sin t.
Assim
T|_{\text{fronteira}}(t)=9-9\cos t\sin t+1=10-9\cos t\sin t.
Usando a identidade trigonométrica \cos t\sin t=\tfrac{1}{2}\sin 2t, obtemos
g(t):=T|_{\text{fronteira}}(t)=10-\tfrac{9}{2}\sin 2t.

Passo 8

Encontrar máximo e mínimo de g(t)=10-\tfrac{9}{2}\sin 2t: como \sin 2t varia entre -1 e 1,
\min \sin 2t=-1 \quad\Rightarrow\quad g_{\max}=10-\tfrac{9}{2}(-1)=10+\tfrac{9}{2}=\tfrac{29}{2},
\max \sin 2t=1 \quad\Rightarrow\quad g_{\min}=10-\tfrac{9}{2}(1)=10-\tfrac{9}{2}=\tfrac{11}{2}.
Agora localizemos os t correspondentes:
  • Para g_{\max}=\tfrac{29}{2} precisamos \sin 2t=-1. Isso ocorre quando
2t=-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi \quad\Rightarrow\quad t=-\tfrac{\pi}{4}+k\pi.
Escolhendo k=0 e k=1 obtemos dois pontos distintos no círculo:
t=-\tfrac{\pi}{4}\Rightarrow (x,y)=\bigl(3\cos(-\tfrac{\pi}{4}),\,3\sin(-\tfrac{\pi}{4})\bigr)=\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{2}},-\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr),
t=\!-\tfrac{\pi}{4}+\pi=\tfrac{3\pi}{4}\Rightarrow (x,y)=\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{2}},\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr).
  • Para g_{\min}=\tfrac{11}{2} precisamos \sin 2t=1. Isso ocorre quando
2t=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac{\pi}{4}+k\pi.
Com k=0 e k=1 obtemos
t=\tfrac{\pi}{4}\Rightarrow (x,y)=\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{2}},\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr),
t=\tfrac{\pi}{4}+\pi=\tfrac{5\pi}{4}\Rightarrow (x,y)=\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{2}},-\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 9

Comparação final entre interior e fronteira:
T(0,0)=1,\qquad \text{valores na fronteira estão entre }\tfrac{11}{2}=5{,}5\text{ e }\tfrac{29}{2}=14{,}5.ã
Como 1<\tfrac{11}{2}, o mínimo global na placa é 1 em (0,0). O máximo global na placa é \tfrac{29}{2}, atingido nos pontos \bigl(\tfrac{3}{\sqrt{2}},-\tfrac{3}{\sqrt{2}}\bigr) e \bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{2}},\tfrac{3}{\sqrt{2}}\bigr).

Resposta

Mínimo: T_{\min}=1 em (0,0).
Máximo: T_{\max}=\dfrac{29}{2} em \displaystyle\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{2}},-\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr) e \displaystyle\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{2}},\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr).

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