Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
y=A e^{x}+\frac{B}{e^{x}}\

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
\;y = A e^{x} + B e^{-x},
onde A e B são constantes arbitrárias. Como há dois parâmetros, esperamos obter uma equação diferencial de segunda ordem que elimine A e B. Para isso, vamos diferenciar y duas vezes.

Passo 2

Diferenciando \;y = A e^{x} + B e^{-x} obtemos
y' = \frac{dy}{dx} = A e^{x} - B e^{-x}
e diferenciando novamente
y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = A e^{x} + B e^{-x}\,.

Passo 3

Note que
y'' = A e^{x} + B e^{-x},
que coincide com a expressão original de y. Assim, eliminamos A e B e chegamos à relação
y'' - y = 0\,.

Resposta

y'' - y = 0

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