Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
y=e^{x}(A \cos x+B \operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
y = e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr)
que depende de duas constantes arbitrárias A e B. Isso indica que a equação diferencial procurada será de segunda ordem, sem constantes. Para encontrá-la, vamos derivar y duas vezes em relação a x e então eliminar A e B.

Passo 2

Primeiro, calculemos a primeira derivada:
y' = \frac{d}{dx}\Bigl[e^{x}(A\cos x + B\sin x)\Bigr] = e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr) + e^{x}\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) = e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\bigr).
Subtraindo y de y', temos
y' - y = e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\bigr) - e^{x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr) = e^{x}\bigl(B\cos x - A\sin x\bigr).

Passo 3

Agora a segunda derivada:
y'' = \frac{d}{dx}\bigl[y'\bigr] = \frac{d}{dx}\Bigl[e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\bigr)\Bigr] = e^{x}\bigl((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\bigr) + e^{x}\bigl(-(A+B)\sin x + (B-A)\cos x\bigr) = 2\,e^{x}\bigl(B\cos x - A\sin x\bigr).
Pelo resultado de y'-y, sabemos que e^{x}(B\cos x - A\sin x)=y'-y. Logo
y'' = 2\,(y' - y) \quad\Longrightarrow\quad y'' - 2y' + 2y = 0.

Resposta

y'' - 2y' + 2y = 0

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