Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
y=k \operatorname{arcsen} x, onde k é um parâmetro

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
y = k \,\arcsin x
onde k é um parâmetro. Queremos obter uma equação diferencial em que o parâmetro k esteja eliminado, ou seja, uma EDO cujo conjunto de soluções seja exatamente essa família.

Passo 2

Diferenciando a relação y = k\,\arcsin x em relação a x, e lembrando que
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin x\bigr)=\frac1{\sqrt{1-x^2}},
temos
\frac{dy}{dx} = k\;\frac1{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 3

Agora isolamos k em duas expressões distintas. Da definição original:
k = \frac{y}{\arcsin x}.
E da derivada:
k = \frac{dy}{dx}\,\sqrt{1-x^2}.

Passo 4

Igualando as duas expressões de k para eliminar o parâmetro, obtemos
\frac{dy}{dx}\,\sqrt{1-x^2} \;=\;\frac{y}{\arcsin x}.
Reorganizando, uma forma mais usual da EDO é
\sqrt{1-x^2}\,\arcsin x\;\frac{dy}{dx}\;-\;y \;=\;0.

Resposta

\sqrt{1-x^2}\,\arcsin x\;\frac{dy}{dx}\;-\;y \;=\;0.

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