Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,-1), com um foco no ponto (2,-1) e que passa pelo ponto (2,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma elipse que está centrada no ponto (1,-1), tem um dos focos em (2,-1) e passa pelo ponto (2,1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, como centro, focos, e as principais medidas que definem uma elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse centrada em (h,k) é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
onde:
  • a é o semi-eixo maior,
  • b é o semi-eixo menor.
Precisamos descobrir a e b.

Passo 3

Sabemos que o centro da elipse é (1,-1) e um dos focos está em (2,-1). A distância entre o centro e o foco é chamada de c. Vamos calcular c:
c = raiz(2 - 1)^2 + (-1 - (-1))^2 = raiz1^2 + 0^2 = 1
Então, c = 1.

Passo 4

Nas elipses, existe a relação entre a, b e c dada por:
c^2 = a^2 - b^2
Mas ainda não sabemos a nem b. Precisamos de mais uma informação para resolver isso. A outra informação que temos é que a elipse passa pelo ponto (2,1). Vamos usar isso para encontrar uma relação entre a e b.

Passo 5

Substituindo o ponto (2,1) na equação da elipse:
(2 - 1)^2a^2 + (1 - (-1))^2b^2 = 1
Simplificando:
1a^2 + 4b^2 = 1
Agora temos duas equações:
  1. c^2 = a^2 - b^2 com c = 1, então 1 = a^2 - b^2
  2. 1a^2 + 4b^2 = 1

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação:
a^2 = b^2 + 1
Substituindo a^2 na segunda equação:
1b^2 + 1 + 4b^2 = 1
Multiplicando todos os termos por b^2(b^2 + 1) para eliminar os denominadores:
b^2 + 4(b^2 + 1) = b^2(b^2 + 1)
Simplificando:
b^2 + 4b^2 + 4 = b^4 + b^2
5b^2 + 4 = b^4 + b^2
Levantando todos os termos para um lado:
b^4 - 4b^2 - 4 = 0

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática em b^2. Vamos resolver para b^2 usando a fórmula quadrática:
b^2 = 4 pm raiz16 + 162 = 4 pm raiz322 = 4 pm 4raiz22 = 2 pm 2raiz2
Como b^2 deve ser positivo, descartamos soluções negativas:
b^2 = 2 + 2raiz2
Então,
a^2 = b^2 + 1 = 3 + 2raiz2

Passo 8

Agora que temos a^2 e b^2, podemos escrever a equação da elipse. Lembrando que o centro é (1,-1):
(x - 1)^23 + 2raiz2 + (y + 1)^22 + 2raiz2 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 1)^23 + 2raiz2 + (y + 1)^22 + 2raiz2 = 1

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