Determine a equação da elipse centrada no ponto
, com um foco no ponto
e que passa pelo ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma elipse que está centrada no ponto
, tem um dos focos em
e passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, como centro, focos, e as principais medidas que definem uma elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma elipse centrada em
é:
onde:
-
é o semi-eixo maior, -
é o semi-eixo menor.
Precisamos descobrir
e
.
Passo 3
Sabemos que o centro da elipse é
e um dos focos está em
. A distância entre o centro e o foco é chamada de
. Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 4
Nas elipses, existe a relação entre
,
e
dada por:
Mas ainda não sabemos
nem
. Precisamos de mais uma informação para resolver isso. A outra informação que temos é que a elipse passa pelo ponto
. Vamos usar isso para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 5
Substituindo o ponto
na equação da elipse:
Simplificando:
Agora temos duas equações:
-
com , então -
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Levantando todos os termos para um lado:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática em
. Vamos resolver para
usando a fórmula quadrática:
Como
deve ser positivo, descartamos soluções negativas:
Então,
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação da elipse. Lembrando que o centro é
:
Resposta
A equação da elipse é: