Um círculo
de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano
. Determine condições sobre os números
e
de modo que
intersecte o eixo
em exatamente dois pontos.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo círculos. Temos um círculo
com raio
e centro no ponto
no primeiro quadrante do plano cartesiano. Nosso objetivo é descobrir quais condições os números
,
e
precisam satisfazer para que o círculo
interseccione o eixo
em exatamente dois pontos. Para isso, vamos usar conceitos de equações de círculos e interseções com eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de um círculo no plano cartesiano. A equação geral de um círculo com centro em
e raio
é:
Queremos encontrar onde esse círculo intersecta o eixo
. O eixo
é representado pela linha
. Então, vamos substituir
na equação do círculo para encontrar os pontos de interseção.
Passo 3
Substituindo
na equação do círculo:
Isso simplifica para:
Agora, precisamos resolver essa equação para
, o que vai nos dar os pontos onde o círculo corta o eixo
.
Passo 4
Resolvendo para
:
Para que haja soluções reais para
, o lado direito da equação deve ser não negativo:
Isso significa que:
Como
(pois o centro está no primeiro quadrante), a condição simplifica para:
Isso garante que a raiz quadrada seja real e que haja pontos de interseção.
Passo 5
Além disso, para que haja exatamente dois pontos de interseção, a desigualdade deve ser estrita:
Se
, o círculo apenas tangencia o eixo
, resultando em um único ponto de interseção. Portanto, para garantir exatamente dois pontos de interseção, precisamos que:
Resposta
As condições necessárias são que o centro
esteja no primeiro quadrante com
e
, e que o raio seja maior que
, ou seja:
Assim, o círculo
intersecta o eixo
em exatamente dois pontos quando
.