Um círculo C de raio r>0 tem seu centro A=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano (x0>0, y0>0). Determine condições sobre os números x0, y0 e r de modo que C intersecte o eixo y em exatamente dois pontos.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo círculos. Temos um círculo com raio e centro no ponto no primeiro quadrante do plano cartesiano. Nosso objetivo é descobrir quais condições os números , e precisam satisfazer para que o círculo interseccione o eixo em exatamente dois pontos. Para isso, vamos usar conceitos de equações de círculos e interseções com eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de um círculo no plano cartesiano. A equação geral de um círculo com centro em (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 e raio é:
Queremos encontrar onde esse círculo intersecta o eixo . O eixo é representado pela linha . Então, vamos substituir na equação do círculo para encontrar os pontos de interseção.

Passo 3

Substituindo (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 na equação do círculo:
x0^2 + (y - y0)^2 = r^2
Isso simplifica para:
Agora, precisamos resolver essa equação para , o que vai nos dar os pontos onde o círculo corta o eixo .

Passo 4

Resolvendo para (y - y0)^2 = r^2 - x0^2 :
r^2 - x0^2 >= 0
Para que haja soluções reais para x0^2 <= r^2 ou |x0| <= r , o lado direito da equação deve ser não negativo:
x0 < r
Isso significa que:
Como (pois o centro está no primeiro quadrante), a condição simplifica para:
Isso garante que a raiz quadrada seja real e que haja pontos de interseção.

Passo 5

Além disso, para que haja exatamente dois pontos de interseção, a desigualdade deve ser estrita:
x0 < r
Se x0 < r , o círculo apenas tangencia o eixo , resultando em um único ponto de interseção. Portanto, para garantir exatamente dois pontos de interseção, precisamos que:

Resposta

As condições necessárias são que o centro x0 < r esteja no primeiro quadrante com e , e que o raio seja maior que , ou seja:
Assim, o círculo intersecta o eixo em exatamente dois pontos quando .

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