Calcule determinante
(a) |cccc1 & 2 & 2 & 3 1 & 0 & -2 & 0 3 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 0 & 2|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes maiores, usando o método de expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a matriz que temos:
1 & 2 & 2 & 3 1 & 0 & -2 & 0 3 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 0 & 2
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 diretamente pode ser bem trabalhoso, então vamos usar a expansão por cofatores. Isso significa que vamos expandir o determinante em termos de menores e cofatores, simplificando passo a passo.

Passo 3

Vamos escolher uma linha ou coluna que tenha zeros ou números menores para facilitar os cálculos. Olhando para a primeira coluna, vemos que ela não tem zeros, mas ainda assim é uma boa opção. A fórmula para a expansão por cofatores na primeira coluna é:
det(A) = a11C11 + a21C21 + a31C31 + a41C41
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada termo da expansão:
  1. Para 0 & -2 & 0 -1 & 1 & -2 -3 & 0 & 2 e 2 & 2 & 3 -1 & 1 & -2 -3 & 0 & 2 :
    • Removemos a primeira linha e a primeira coluna, restando a matriz:
      2 & 2 & 3 0 & -2 & 0 -3 & 0 & 2
    • O cofator 2 & 2 & 3 0 & -2 & 0 -1 & 1 & -2 dessa matriz.
  2. Para e :
    • Removemos a segunda linha e a primeira coluna, restando:
    • O cofator dessa matriz.
  3. Para e :
    • Removemos a terceira linha e a primeira coluna, restando:
    • O cofator dessa matriz.
  4. Para e :
    • Removemos a quarta linha e a primeira coluna, restando:
    • O cofator dessa matriz.

Passo 5

Agora, vamos calcular cada determinante dos menores:
  1. Determinante de 0 & -2 & 0 -1 & 1 & -2 -3 & 0 & 2 :
    0 times det 1 & -2 0 & 2 - (-2) times det -1 & -2 -3 & 2 + 0 times det -1 & 1 -3 & 0
    Vamos expandir por cofatores na primeira linha:
    0 + 2 times ((-1)(2) - (-2)(-3)) + 0 = 2 times (-2 - 6) = 2 times (-8) = -16
    Simplificando:
    2 & 2 & 3 -1 & 1 & -2 -3 & 0 & 2
    Então, 2 times det 1 & -2 0 & 2 - 2 times det -1 & -2 -3 & 2 + 3 times det -1 & 1 -3 & 0
  2. Determinante de 2 times (1 times 2 - (-2) times 0) - 2 times ((-1)(2) - (-2)(-3)) + 3 times ((-1)(0) - 1 times (-3)) :
    = 2 times 2 - 2 times (-2 - 6) + 3 times (0 + 3) = 4 - 2 times (-8) + 9 = 4 + 16 + 9 = 29
    Expandindo pela primeira linha:
    2 & 2 & 3 0 & -2 & 0 -3 & 0 & 2
    Calculando:
    0 times det 2 & 3 -3 & 2 - (-2) times det 2 & 3 -3 & 2 + 0 times det 2 & 2 -3 & 0
    0 + 2 times (2 times 2 - 3 times (-3)) + 0 = 2 times (4 + 9) = 2 times 13 = 26
    Então, 2 & 2 & 3 0 & -2 & 0 -1 & 1 & -2
  3. Determinante de 2 times det -2 & 0 1 & -2 - 2 times det 0 & 0 -1 & -2 + 3 times det 0 & -2 -1 & 1 :
    2 times ((-2)(-2) - 0 times 1) - 2 times (0 times (-2) - 0 times (-1)) + 3 times (0 times 1 - (-2) times (-1))
    Expandindo pela segunda linha (que tem um zero):
    = 2 times (4 - 0) - 2 times (0 - 0) + 3 times (0 - 2) = 8 - 0 - 6 = 2
    Simplificando:
    Então,
  4. Determinante de :
    Expandindo pela primeira linha:
    Calculando:
    Então,

Passo 6

Agora, vamos substituir os cofatores na fórmula da expansão:
det(A) = a11C11 + a21C21 + a31C31 + a41C41
Substituindo os valores que encontramos:
det(A) = 1 times (-16) + 1 times (-29) + 3 times 26 + 4 times (-2)
Calculando cada termo:
-16 - 29 + 78 - 8 = (-16 - 29) + (78 - 8) = -45 + 70 = 25

Resposta

O determinante da matriz é 25.

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