Determine a equação da elipse em que:
os focos são F_{1}(1,0) e F_{2}(-1,0) e dois vértices são A_{1}(2,0), A_{2}(-2,0).

Passo 1

O enunciado fornece os focos F_{1}(1,0) e F_{2}(-1,0) e os vértices A_{1}(2,0) e A_{2}(-2,0) de uma elipse. Trata-se de geometria analítica de cônicas, e vamos precisar determinar o centro, o semieixo maior a, o semieixo focal c e, por fim, o semieixo menor b usando a relação
c^{2} = a^{2} - b^{2}.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio dos focos. Calculamos
\bigl(\tfrac{1+(-1)}{2},\,\tfrac{0+0}{2}\bigr) = (0,0).

Passo 3

Como os vértices estão em (2,0) e (-2,0), o semieixo maior a é a distância do centro a um vértice:
a = \mathrm{dist}\bigl((0,0),(2,0)\bigr) = 2.

Passo 4

O semieixo focal c é a distância do centro a um foco. Por exemplo,
c = \mathrm{dist}\bigl((0,0),(1,0)\bigr) = 1.

Passo 5

Aplicando a relação c^{2}=a^{2}-b^{2}, temos
b^{2} = a^{2} - c^{2} = 2^{2} - 1^{2} = 4 - 1 = 3,
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\,b = \sqrt{3}.

Passo 6

Como o eixo maior é horizontal, a forma padrão da equação é
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.
Substituindo a^{2}=4 e b^{2}=3, obtemos
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1.

Resposta

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1.

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