Determine qual o valor de “a” para que o conjunto \{(2,1,0),(a-2,3,0)\} seja Linearmente Dependente (LD).
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede o valor de a para que o conjunto \{(2,1,0),(a-2,3,0)\} em \mathbb{R}^3 seja linearmente dependente. O conteúdo aqui é dependência linear de dois vetores, ou seja, verificar quando um vetor é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Do conceito de dependência linear em \mathbb{R}^3, dois vetores v e w são linearmente dependentes se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
w = \lambda\,v.
Vamos aplicar isso aos vetores dados.

Passo 3

Para que (a-2,3,0) seja múltiplo de (2,1,0), deve existir \lambda com
(a-2,3,0) = \lambda\,(2,1,0).
Da igualdade de vetores obtemos as equações a-2=2\lambda, 3=\lambda e 0=0\lambda. Da segunda segue \lambda=3. Substituindo em a-2=2\lambda resulta
a-2 = 2\cdot3 = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = 8.
A terceira equação é trivialmente satisfeita.

Resposta

a = 8

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