Uma elipse está centrada na origem, tem os seus eixos sobre os eixos coordenados e é tangente simultaneamente a x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9. Na determinação desta elipse verifica-se que:
a) a solução é \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1
b) não há solução
c) a solução é 4 x^{2}+9 y^{2}=36
d) a solução é (x-3)^{2}+(y-2)^{2}=1
e) há mais de uma solução

Passo 1

O enunciado pede uma elipse centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos x e y, de equação geral
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
que seja simultaneamente tangente às circunferências
\;x^{2}+y^{2}=4 (raio 2) e \;x^{2}+y^{2}=9 (raio 3). Vamos usar as distâncias extremas do centro à elipse para impor as tangências.

Passo 2

Num ponto da elipse, em coordenadas polares (r,\theta), vale
r^2 = a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta.
Como a\ge b>0, essa expressão varia entre
\min_{\theta}r^2 = b^2 \quad\text{e}\quad \max_{\theta}r^2 = a^2,
isto é, as distâncias da origem à elipse vão de b a a.

Passo 3

Para que a elipse seja tangente à circunferência de raio 2, precisamos de
b = 2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 4.
Para ser tangente à circunferência de raio 3, precisamos de
a = 3 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 9.

Passo 4

Substituindo a^2=9 e b^2=4 na equação \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, obtemos
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^2 + 9y^2 = 36.

Resposta

A alternativa correta é a (c) 4x^2 + 9y^2 = 36.

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