Determine a equação da elipse:
com vértices (6,2),(-4,2) e eixo menor de comprimento 6 ;

Passo 1

O enunciado dá os dois vértices (6,2) e (-4,2) e informa que o eixo menor tem comprimento 6. A pergunta é: determinar a equação da elipse que tem esses vértices e esse eixo menor.
Informações relevantes dadas:
  • Vértice 1: (6,2).
  • Vértice 2: (-4,2).
  • Comprimento do eixo menor: 2b = 6.

Passo 2

Encontrar o centro da elipse: o centro está exatamente no ponto médio entre os dois vértices. A fórmula do ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Aplicando aos vértices (6,2) e (-4,2):
\left(\frac{6+(-4)}{2},\frac{2+2}{2}\right)=\left(\frac{2}{2},\frac{4}{2}\right)=(1,2).
Logo o centro é (1,2).

Passo 3

Determinar a orientação do eixo maior: os dois vértices têm a mesma coordenada y=2, o que significa que o eixo que liga os vértices é horizontal. Portanto a elipse tem eixo maior horizontal.

Passo 4

Calcular o semi-eixo maior a: o comprimento total entre os vértices é a distância entre (6,2) e (-4,2). Como as y são iguais, essa distância é simplesmente |6-(-4)|=10. O semi-eixo maior é metade dessa distância:
a=\frac{10}{2}=5.

Passo 5

Calcular o semi-eixo menor b: o enunciado deu o comprimento do eixo menor 2b=6, então
b=\frac{6}{2}=3.

Passo 6

Escrever a forma padrão da equação: para uma elipse centrada em (h,k) com eixo maior horizontal (semi-eixo maior a ao longo de x e semi-eixo menor b ao longo de y), a equação padrão é
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,
onde h,k são as coordenadas do centro, a é o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor.

Passo 7

Substituir os valores encontrados: h=1, k=2, a=5 e b=3. Assim
\frac{(x-1)^2}{5^2}+\frac{(y-2)^2}{3^2}=1
ou seja
\frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}=1.

Passo 8

Verificação rápida (confiança): os vértices devem satisfazer a equação. Para (6,2):
\frac{(6-1)^2}{25}+\frac{(2-2)^2}{9}=\frac{25}{25}+0=1,
funciona. Mesma verificação para (-4,2) 1. Tudo consistente.

Passo 9

Informação extra (útil para prova): a distância focal c satisfaz c^2=a^2-b^2. Aqui
c^2=25-9=16,\quad c=4,
portanto as focais são (1\pm4,2)=(5,2) e (-3,2). (Só para saber, não precisava para a equação.)

Resposta

\displaystyle \frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}=1

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