Determine a equação da elipse:
com vértices
e eixo menor de comprimento 6 ;
com vértices
Passo 1
O enunciado dá os dois vértices
e
e informa que o eixo menor tem comprimento
. A pergunta é: determinar a equação da elipse que tem esses vértices e esse eixo menor.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Vértice 1:
. - Vértice 2:
. - Comprimento do eixo menor:
.
Passo 2
Encontrar o centro da elipse: o centro está exatamente no ponto médio entre os dois vértices. A fórmula do ponto médio entre
e
é
Aplicando aos vértices
e
:
Logo o centro é
.
Passo 3
Determinar a orientação do eixo maior: os dois vértices têm a mesma coordenada
, o que significa que o eixo que liga os vértices é horizontal. Portanto a elipse tem eixo maior horizontal.
Passo 4
Calcular o semi-eixo maior
: o comprimento total entre os vértices é a distância entre
e
. Como as
são iguais, essa distância é simplesmente
. O semi-eixo maior é metade dessa distância:
Passo 5
Calcular o semi-eixo menor
: o enunciado deu o comprimento do eixo menor
, então
Passo 6
Escrever a forma padrão da equação: para uma elipse centrada em
com eixo maior horizontal (semi-eixo maior
ao longo de
e semi-eixo menor
ao longo de
), a equação padrão é
onde
são as coordenadas do centro,
é o semi-eixo maior e
o semi-eixo menor.
Passo 7
Substituir os valores encontrados:
,
,
e
. Assim
ou seja
Passo 8
Verificação rápida (confiança): os vértices devem satisfazer a equação. Para
:
funciona. Mesma verificação para
dá
. Tudo consistente.
Passo 9
Informação extra (útil para prova): a distância focal
satisfaz
. Aqui
portanto as focais são
e
. (Só para saber, não precisava para a equação.)