Resolva os itens:
Para a elipse
, ache os pontos onde a vurvatura é mávima e onde ela é mínima.
Para a elipse
Passo 1
O enunciado nos dá a elipse
e pede para achar os pontos onde a curvatura é máxima e onde ela é mínima.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação da curva (elipse) e a condição
. - Quer-se os pontos da curva em que a curvatura atinge seus extremos (máximo e mínimo).
Passo 2
Escolher uma parametrização conveniente da elipse. Uma parametrização padrão e muito útil é
Por que isso serve? Basta verificar que, substituindo,
logo a parametrização descreve exatamente a elipse.
Passo 3
Apresentar a fórmula da curvatura para uma curva parametrizada por
. Para uma curva plana
com derivadas suficientes, a curvatura
é dada por
Explicando cada termo:
-
e são as derivadas primeiras (velocidade) em relação a . -
e são as derivadas segundas (aceleração) em relação a . - O numerador
mede a tendência de rotação do vetor velocidade (relacionado à aceleração normal). - O denominador normaliza pelo comprimento da velocidade; o expoente
vem da fórmula geométrica da curvatura.
Calculemos as derivadas para nossa parametrização:
Agora o numerador:
Observação: o numerador é constante e igual a
. (Por isso o módulo pode ser removido mantendo
.)
O denominador é
Portanto obtemos a expressão explícita da curvatura da elipse:
Passo 4
Analisar onde
atinge extremos. Repare que o numerador
é constante e positivo; assim, maximizar
é equivalente a minimizar o denominador
e minimizar
é equivalente a maximizar
. Como a função
é estritamente crescente para
, basta estudar
Reescrevendo
:
e como
,
é aumentado por
. Logo:
-
é mínimo quando , isto é em . -
é máximo quando , isto é em .
Os valores correspondentes são:
Passo 5
Converter esses parâmetros
nos pontos da elipse e calcular as curvaturas nesses pontos.
Para
:
. Para
:
. Portanto os dois pontos
correspondem a
(denominador mínimo), então nestes pontos a curvatura é máxima:
Para
:
. Para
:
. Portanto os pontos
correspondem a
(denominador máximo), então nestes pontos a curvatura é mínima:
Como
segue que
, confirmando que os pontos identificados realmente dão máximo e mínimo.
Passo 6
Interpretação e memória para a prova (dica amigável): parametrizar a elipse por seno e cosseno é um truque padrão; a curvatura fica com numerador constante
e um denominador do tipo
. Então basta olhar onde
é
ou
para achar os extremos — nada de derivadas complicadas aqui. Respira, copia o passo: parametriza, calcula derivadas, aplica a fórmula e busca extremos do polinômio em
.
Resposta
Pontos de curvatura máxima:
, com
.
Pontos de curvatura mínima: , com
.
Pontos de curvatura mínima: