Resolva os itens:
Para a elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \operatorname{com} a>b, ache os pontos onde a vurvatura é mávima e onde ela é mínima.

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\qquad \text{com } a>b,
e pede para achar os pontos onde a curvatura é máxima e onde ela é mínima.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação da curva (elipse) e a condição a>b.
  • Quer-se os pontos da curva em que a curvatura atinge seus extremos (máximo e mínimo).

Passo 2

Escolher uma parametrização conveniente da elipse. Uma parametrização padrão e muito útil é
x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Por que isso serve? Basta verificar que, substituindo,
\frac{x(t)^2}{a^2}+\frac{y(t)^2}{b^2}=\frac{a^2\cos^2 t}{a^2}+\frac{b^2\sin^2 t}{b^2}=\cos^2 t+\sin^2 t=1,
logo a parametrização descreve exatamente a elipse.

Passo 3

Apresentar a fórmula da curvatura para uma curva parametrizada por t. Para uma curva plana (x(t),y(t)) com derivadas suficientes, a curvatura \kappa(t) é dada por
\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
Explicando cada termo:
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas primeiras (velocidade) em relação a t.
  • x''(t) e y''(t) são as derivadas segundas (aceleração) em relação a t.
  • O numerador x'y''-y'x'' mede a tendência de rotação do vetor velocidade (relacionado à aceleração normal).
  • O denominador normaliza pelo comprimento da velocidade; o expoente 3/2 vem da fórmula geométrica da curvatura.
Calculemos as derivadas para nossa parametrização:
x'(t)=-a\sin t,\qquad y'(t)=b\cos t,
x''(t)=-a\cos t,\qquad y''(t)=-b\sin t.
Agora o numerador:
x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)=(-a\sin t)(-b\sin t)-(b\cos t)(-a\cos t)=ab\sin^{2}t+ab\cos^{2}t=ab.
Observação: o numerador é constante e igual a ab>0. (Por isso o módulo pode ser removido mantendo ab.)
O denominador é
\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}=\bigl(a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t\bigr)^{3/2}.
Portanto obtemos a expressão explícita da curvatura da elipse:
\boxed{\displaystyle \kappa(t)=\frac{ab}{\bigl(a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t\bigr)^{3/2}}.}

Passo 4

Analisar onde \kappa(t) atinge extremos. Repare que o numerador ab é constante e positivo; assim, maximizar \kappa(t) é equivalente a minimizar o denominador
g(t)=\bigl(a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t\bigr)^{3/2},
e minimizar \kappa(t) é equivalente a maximizar g(t). Como a função u\mapsto u^{3/2} é estritamente crescente para u>0, basta estudar
f(t)=a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t.
Reescrevendo f(t):
f(t)=b^{2}+(a^{2}-b^{2})\sin^{2}t,
e como a^{2}-b^{2}>0, f(t) é aumentado por \sin^{2}t. Logo:
  • f(t) é mínimo quando \sin^{2}t=0, isto é em t=0,\pi.
  • f(t) é máximo quando \sin^{2}t=1, isto é em t=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}.
Os valores correspondentes são:
f_{\min}=b^{2}\quad\text{(em }t=0,\pi),\qquad f_{\max}=a^{2}\quad\text{(em }t=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}).

Passo 5

Converter esses parâmetros t nos pontos da elipse e calcular as curvaturas nesses pontos.
Para t=0: (x,y)=(a\cos0,b\sin0)=(a,0). Para t=\pi: (x,y)=(-a,0). Portanto os dois pontos (\pm a,0) correspondem a f=b^{2} (denominador mínimo), então nestes pontos a curvatura é máxima:
\kappa_{\max}=\frac{ab}{(b^{2})^{3/2}}=\frac{ab}{b^{3}}=\frac{a}{b^{2}}.
Para t=\tfrac{\pi}{2}: (x,y)=(0,b). Para t=\tfrac{3\pi}{2}: (x,y)=(0,-b). Portanto os pontos (0,\pm b) correspondem a f=a^{2} (denominador máximo), então nestes pontos a curvatura é mínima:
\kappa_{\min}=\frac{ab}{(a^{2})^{3/2}}=\frac{ab}{a^{3}}=\frac{b}{a^{2}}.
Como a>b segue que \kappa_{\max}=\dfrac{a}{b^{2}}>\dfrac{b}{a^{2}}=\kappa_{\min}, confirmando que os pontos identificados realmente dão máximo e mínimo.

Passo 6

Interpretação e memória para a prova (dica amigável): parametrizar a elipse por seno e cosseno é um truque padrão; a curvatura fica com numerador constante ab e um denominador do tipo \bigl(a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t\bigr)^{3/2}. Então basta olhar onde \sin^{2}t é 0 ou 1 para achar os extremos — nada de derivadas complicadas aqui. Respira, copia o passo: parametriza, calcula derivadas, aplica a fórmula e busca extremos do polinômio em \sin^{2}t.

Resposta

Pontos de curvatura máxima: (\pm a,0), com \kappa_{\max}=\dfrac{a}{b^{2}}.
Pontos de curvatura mínima: (0,\pm b), com \kappa_{\min}=\dfrac{b}{a^{2}}.

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