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Ache a curvatura máxima para a parábola
.
Ache a curvatura máxima para a parábola
Passo 1
O enunciado pede: "Ache a curvatura máxima para a parábola
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função que define a curva é
. - Não é afirmado explicitamente, mas uma “parábola” implica que
(se a curva é uma reta).
O que precisamos entregar: o valor máximo da curvaturaao longo de todos os , e, se for útil, o ponto onde esse máximo ocorre.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a fórmula de curvatura que usarei. Para uma curva dada por
com derivadas suficientes, a curvatura
em um ponto é
O que cada símbolo significa:
-
é a derivada primeira (declividade da tangente). -
é a derivada segunda (como a inclinação muda).
Intuição rápida: o numerador mede a “curvatura” local (segunda derivada) e o denominador ajusta pela inclinação da curva para dar uma medida geométrica de curvatura independente de parametrização.
Passo 3
Calcule as derivadas para a parábola
.
Derivando:
Derivando:
Note que
é constante (isso é típico de parábolas): a “curvatura bruta” é proporcional a
, mas a curvatura geométrica tem também o fator que depende de
.
Passo 4
Substituo na fórmula da curvatura:
Para simplificar a análise, faço a mudança de variável
que varia por todos os reais quando
varia por todos os reais (desde que
). Em termos de
,
Passo 5
Agora vamos maximizar
em
. Observe que
é constante em
, então é suficiente maximizar a função
Derivada de
:
As raízes de
são
. O sinal de
é positivo para
e negativo para
, logo
é um ponto de máximo global de
. Alternativamente, nota-se que
, então
com igualdade somente se
.
Passo 6
Portanto o máximo de
ocorre em
. Voltando para
,
equivale a
No ponto
(que é o vértice da parábola) a curvatura atinge
Passo 7
Trato o caso degenerado
: então a curva não é uma parábola, é uma reta
. Para reta,
e portanto
, logo
. Isso é consistente com a fórmula anterior, pois se
temos
.
Resposta
Se