Resolva os itens:
Ache a curvatura máxima para a parábola y=a x^{2}+b x+c.

Passo 1

O enunciado pede: "Ache a curvatura máxima para a parábola y=a x^{2}+b x+c".
Informações dadas:
  • A função que define a curva é y=a x^{2}+b x+c.
  • Não é afirmado explicitamente, mas uma “parábola” implica que a\neq0 (se a=0 a curva é uma reta).
    O que precisamos entregar: o valor máximo da curvatura \kappa(x) ao longo de todos os x\in\mathbb{R}, e, se for útil, o ponto x onde esse máximo ocorre.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a fórmula de curvatura que usarei. Para uma curva dada por y=f(x) com derivadas suficientes, a curvatura \kappa em um ponto é
\kappa=\frac{|y''|}{\bigl(1+(y')^{2}\bigr)^{3/2}}.
O que cada símbolo significa:
  • y'= \dfrac{dy}{dx} é a derivada primeira (declividade da tangente).
  • y''= \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} é a derivada segunda (como a inclinação muda).
    Intuição rápida: o numerador mede a “curvatura” local (segunda derivada) e o denominador ajusta pela inclinação da curva para dar uma medida geométrica de curvatura independente de parametrização.

Passo 3

Calcule as derivadas para a parábola y=a x^{2}+b x+c.
Derivando:
y' = 2a x + b, \qquad y'' = 2a.
Note que y'' é constante (isso é típico de parábolas): a “curvatura bruta” é proporcional a |2a|, mas a curvatura geométrica tem também o fator que depende de y'.

Passo 4

Substituo na fórmula da curvatura:
\kappa(x) = \frac{|y''|}{\bigl(1+(y')^{2}\bigr)^{3/2}} = \frac{|2a|}{\bigl(1+(2a x + b)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Para simplificar a análise, faço a mudança de variável
u = 2a x + b,
que varia por todos os reais quando x varia por todos os reais (desde que a\neq0). Em termos de u,
\kappa(u)=\frac{|2a|}{\bigl(1+u^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Agora vamos maximizar \kappa(u) em u\in\mathbb{R}. Observe que |2a| é constante em u, então é suficiente maximizar a função
f(u)=\bigl(1+u^{2}\bigr)^{-3/2}.
Derivada de f:
f'(u) = -\tfrac{3}{2}\cdot 2u\,(1+u^{2})^{-5/2} = -3u\,(1+u^{2})^{-5/2}.
As raízes de f'(u)=0 são u=0. O sinal de f' é positivo para u<0 e negativo para u>0, logo u=0 é um ponto de máximo global de f. Alternativamente, nota-se que 1+u^{2}\ge1, então (1+u^{2})^{-3/2}\le1 com igualdade somente se u=0.

Passo 6

Portanto o máximo de \kappa(u) ocorre em u=0. Voltando para x, u=0 equivale a
2a x + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{b}{2a}.
No ponto x=-\dfrac{b}{2a} (que é o vértice da parábola) a curvatura atinge
\kappa_{\max} = \frac{|2a|}{(1+0^{2})^{3/2}} = |2a|.

Passo 7

Trato o caso degenerado a=0: então a curva não é uma parábola, é uma reta y=bx+c. Para reta, y''=0 e portanto \kappa(x)\equiv0, logo \kappa_{\max}=0. Isso é consistente com a fórmula anterior, pois se a=0 temos |2a|=0.

Resposta

\kappa_{\max}=|2a|, atingida em x=-\dfrac{b}{2a} (para a\neq0).
Se a=0, então \kappa_{\max}=0.

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