Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto
e tem vetor normal
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto
e tem vetor normal
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- ponto
;\n - vetor normal
.\n
Pergunta: encontrar a equação geral do plano (forma) que satisfaz essas condições.
Passo 2
Fórmula básica que vamos usar: se um plano tem vetor normal
e passa por um ponto
, então todo ponto
do plano satisfaz
Explicando essa fórmula:
é o vetor posição genérico de um ponto qualquer do plano;
é o vetor posição do ponto dado do plano. O vetor
é um vetor que liga
a um ponto genérico do plano; como o normal é perpendicular ao plano, o produto escalar entre
e
deve ser zero. O produto escalar entre
e
é
.
Passo 3
Identificamos os valores a usar na fórmula:\n
portanto
,
,
.\n
O ponto dado é .
O ponto dado é
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Calculando o vetor diferença:
Fazendo o produto escalar:
Passo 5
Agora expandimos e simplificamos os termos:
Somando as constantes
, obtemos
Passo 6
Verificação rápida: substituir
na equação dá
logo o ponto pertence ao plano e a equação está correta. Os coeficientes de
correspondem às componentes do vetor normal
, como esperado.