Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P(2,1,3) e tem vetor normal \vec{n}=(1,2,-3)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto P(2,1,3) e tem vetor normal \vec{n}=(1,2,-3).\n
Informações dadas:\n
  • ponto P(2,1,3);\n
  • vetor normal \vec{n}=(1,2,-3).\n
    Pergunta: encontrar a equação geral do plano (forma ax+by+cz+d=0) que satisfaz essas condições.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar: se um plano tem vetor normal \vec{n}=(a,b,c) e passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0), então todo ponto (x,y,z) do plano satisfaz
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr)=0.
Explicando essa fórmula: \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição genérico de um ponto qualquer do plano; \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0) é o vetor posição do ponto dado do plano. O vetor \vec{r}-\vec{r_0} é um vetor que liga P_0 a um ponto genérico do plano; como o normal é perpendicular ao plano, o produto escalar entre \vec{n} e \vec{r}-\vec{r_0} deve ser zero. O produto escalar entre \vec{n}=(a,b,c) e (u,v,w) é a u + b v + c w.

Passo 3

Identificamos os valores a usar na fórmula:\n
\vec{n}=(a,b,c)=(1,2,-3) portanto a=1, b=2, c=-3.\n
O ponto dado é P_0=(x_0,y_0,z_0)=(2,1,3).

Passo 4

Substituindo na fórmula:
(1,2,-3)\cdot\bigl((x,y,z)-(2,1,3)\bigr)=0.
Calculando o vetor diferença:
(x,y,z)-(2,1,3)=(x-2,\;y-1,\;z-3).
Fazendo o produto escalar:
1\cdot(x-2)+2\cdot(y-1)+(-3)\cdot(z-3)=0.

Passo 5

Agora expandimos e simplificamos os termos:
x-2 + 2y-2 -3z +9 = 0.
Somando as constantes -2-2+9 = 5, obtemos
x + 2y - 3z + 5 = 0.

Passo 6

Verificação rápida: substituir P(2,1,3) na equação dá
2 + 2\cdot1 -3\cdot3 +5 = 2+2-9+5 = 0,
logo o ponto pertence ao plano e a equação está correta. Os coeficientes de x,y,z correspondem às componentes do vetor normal (1,2,-3), como esperado.

Resposta

x+2y-3z+5=0

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