Determine a área do triangulo de vértices A(0,0,0), B(6,0,0) e C(7,3,4)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área do triângulo cujos vértices são \,A(0,0,0)\,,\;B(6,0,0)\, e \,C(7,3,4)\,.
Informações dadas:
\;A=(0,0,0)\;
\;B=(6,0,0)\;
\;C=(7,3,4)\;
Pergunta: qual é a área do triângulo ABC?

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): para um triângulo em espaço tridimensional, uma maneira direta de achar a área é usar vetores. Se construímos os vetores a partir de um vértice comum, por exemplo \, \overrightarrow{AB}\, e \, \overrightarrow{AC}\,, então o produto vetorial \, \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\, é um vetor cuja norma (módulo) é igual à área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Como o triângulo é exatamente metade desse paralelogramo, a área do triângulo é
\text{Área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\,\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|.Á
Aqui \|\cdot\| significa o comprimento (norma) do vetor. Vou explicar e calcular tudo passo a passo.

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} subtraindo coordenadas:
\overrightarrow{AB}=B-A=(6-0,\;0-0,\;0-0)=(6,0,0),
\overrightarrow{AC}=C-A=(7-0,\;3-0,\;4-0)=(7,3,4).
Observação: subtrair coordenadas é feito componente a componente: se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2) então \overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).

Passo 4

Fórmula do produto vetorial (explicação didática): para \,u=(u_1,u_2,u_3)\, e \,v=(v_1,v_2,v_3)\,, o produto vetorial u\times v tem componentes dadas por
u\times v=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Geometricamente, \|u\times v\| dá a área do paralelogramo gerado por u e v. Vamos aplicar essa fórmula aos vetores que achamos.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso \overrightarrow{AB}=(6,0,0) e \overrightarrow{AC}=(7,3,4):
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\big(0\cdot4-0\cdot3,\;0\cdot7-6\cdot4,\;6\cdot3-0\cdot7\big).
Agora calculando cada componente:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,\;-24,\;18).

Passo 6

Calcular a norma (comprimento) do vetor \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Para um vetor (x,y,z) temos \|(x,y,z)\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. Então
\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\|=\sqrt{0^2+(-24)^2+18^2}=\sqrt{0+576+324}=\sqrt{900}=30.
Pequena verificação aritmética: 24^2=576, 18^2=324, soma 576+324=900, raiz quadrada =30.

Passo 7

Finalmente, como a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo:
\text{Área}(ABC)=\tfrac{1}{2}\cdot 30=15.Á
Isso significa que a área do triângulo com os vértices dados é \,15 (unidades de área).

Resposta

15

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