Determine a área do triangulo de vértices A(0,0,0), B(6,0,0) e C(7,3,4)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a área do triângulo cujos vértices são \,A(0,0,0)\,,\;B(6,0,0)\, e \,C(7,3,4)\,.
Informações dadas: \;A=(0,0,0)\; \;B=(6,0,0)\; \;C=(7,3,4)\;
Pergunta: qual é a área do triângulo ABC?
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): para um triângulo em espaço tridimensional, uma maneira direta de achar a área é usar vetores. Se construímos os vetores a partir de um vértice comum, por exemplo \, \overrightarrow{AB}\, e \, \overrightarrow{AC}\,, então o produto vetorial \, \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\, é um vetor cuja norma (módulo) é igual à área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Como o triângulo é exatamente metade desse paralelogramo, a área do triângulo é
Observação: subtrair coordenadas é feito componente a componente: se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2) então \overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Passo 4
Fórmula do produto vetorial (explicação didática): para \,u=(u_1,u_2,u_3)\, e \,v=(v_1,v_2,v_3)\,, o produto vetorial u\times v tem componentes dadas por
Calcular a norma (comprimento) do vetor \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Para um vetor (x,y,z) temos \|(x,y,z)\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. Então