Escreva a equação cartesiana em coordenadas esféricas
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16

Passo 1

O enunciado pede para escrever a equação cartesiana
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16
na forma equivalente usando coordenadas esféricas.
Informações dadas: a equação de uma superfície em coordenadas cartesianas (cadeia de termos quadráticos) e o objetivo é representá‑la em coordenadas esféricas (usar as variáveis típicas \rho, \varphi, \theta). Não se pede nada além da forma esférica da equação.

Passo 2

Vamos lembrar o que são coordenadas esféricas e suas fórmulas de transformação (a parte teórica que você precisa dominar para fazer a substituição). Em coordenadas esféricas usamos três variáveis:
  • \rho: distância do ponto à origem (sempre \rho\ge 0);
  • \varphi: ângulo polar, medido a partir do eixo z positivo (ou seja, \varphi=0 aponta para cima em +z); geralmente \varphi\in[0,\pi];
  • \theta: ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo no sentido anti‑horário; geralmente \theta\in[0,2\pi).
As fórmulas que ligam coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta) às cartesianas (x,y,z) são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi.
Aqui \sin e \cos são as funções trigonométricas usuais; essas fórmulas vêm de projetar a distância \rho na direção do eixo z (dando \rho\cos\varphi) e no plano xy (dando \rho\sin\varphi), e então decompor essa projeção no plano xy por \cos\theta e \sin\theta.

Passo 3

Agora fazemos a substituição das expressões de x, y e z na equação original. Primeiro escrevo cada quadrado:
x^{2}=(\rho\sin\varphi\cos\theta)^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta,
y^{2}=(\rho\sin\varphi\sin\theta)^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta,
z^{2}=(\rho\cos\varphi)^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi.
Somando esses três termos (porque a equação original soma x^{2}+y^{2}+z^{2}) obtemos:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta+\rho^{2}\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta+\rho^{2}\cos^{2}\varphi.

Passo 4

Fatoramos \rho^{2} e usamos a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Assim:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}\big(\sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\cos^{2}\varphi\big)
=\rho^{2}\big(\sin^{2}\varphi\cdot 1+\cos^{2}\varphi\big)
=\rho^{2}\big(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi\big).
Outra identidade trigonométrica diz que \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1. Logo
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.

Passo 5

Voltando à equação original, que vale x^{2}+y^{2}+z^{2}=16, substituímos o resultado \rho^{2} e obtemos:
\rho^{2}=16.
Como \rho representa uma distância e é não negativa, tomamos a raiz não negativa:
\rho=4.
Interpretação: em coordenadas esféricas a superfície é simplesmente a esfera de raio 4, descrita por \rho=4 para todos os ângulos \varphi e \theta no domínio habitual.

Resposta

\rho=4

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