Escreva a equação cartesiana em coordenadas esféricas
Passo 1
O enunciado pede para escrever a equação cartesiana
na forma equivalente usando coordenadas esféricas.
Informações dadas: a equação de uma superfície em coordenadas cartesianas (cadeia de termos quadráticos) e o objetivo é representá‑la em coordenadas esféricas (usar as variáveis típicas ,
,
). Não se pede nada além da forma esférica da equação.
Informações dadas: a equação de uma superfície em coordenadas cartesianas (cadeia de termos quadráticos) e o objetivo é representá‑la em coordenadas esféricas (usar as variáveis típicas
Passo 2
Vamos lembrar o que são coordenadas esféricas e suas fórmulas de transformação (a parte teórica que você precisa dominar para fazer a substituição). Em coordenadas esféricas usamos três variáveis:
-
: distância do ponto à origem (sempre ); -
: ângulo polar, medido a partir do eixo positivo (ou seja, aponta para cima em ); geralmente ; -
: ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo no sentido anti‑horário; geralmente .
As fórmulas que ligam coordenadas esféricas
às cartesianas
são:
Aqui
e
são as funções trigonométricas usuais; essas fórmulas vêm de projetar a distância
na direção do eixo
(dando
) e no plano
(dando
), e então decompor essa projeção no plano
por
e
.
Passo 3
Agora fazemos a substituição das expressões de
,
e
na equação original. Primeiro escrevo cada quadrado:
Somando esses três termos (porque a equação original soma
) obtemos:
Passo 4
Fatoramos
e usamos a identidade trigonométrica
. Assim:
Outra identidade trigonométrica diz que
. Logo
Passo 5
Voltando à equação original, que vale
, substituímos o resultado
e obtemos:
Como
representa uma distância e é não negativa, tomamos a raiz não negativa:
Interpretação: em coordenadas esféricas a superfície é simplesmente a esfera de raio
, descrita por
para todos os ângulos
e
no domínio habitual.