a) Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A=(2,1,3) e é perpendicular a reta X=(2,3,5)+t(4,1,2).
b) Encontre um ponto de pi diferente do ponto dado.
c) Verifique se o ponto C=(5,-1,2) e D=(2,15,-4) pertencem ao plano.

Passo 1

O enunciado pede o plano pi que passa por A=(2,1,3) e é perpendicular à reta
X=(2,3,5)+t,(4,1,2)
O conteúdo aqui é geometria analítica em R^3: para que um plano seja perpendicular a uma reta, basta tomar como vetor normal do plano o vetor diretor da reta. Depois vamos:
  1. determinar o vetor normal n;
  2. montar a equação do plano usando n e o ponto A;
  3. achar um ponto diferente de A satisfazendo essa equação;
  4. testar os pontos C e D.

Passo 2

O vetor diretor da reta é
v=(4,1,2)
Como o plano deve ser perpendicular à reta, seu vetor normal é
n=v=(4,1,2)

Passo 3

A equação geral do plano com normal n=(4,1,2) passando por A=(2,1,3) é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0,
isto é,
4(x-2)+1(y-1)+2(z-3)=0
Desenvolvendo:
4x-8 + y-1 +2z-6 = 0 Longrightarrow 4x + y + 2z -15 = 0

Passo 4

Para encontrar um ponto qualquer (x,y,z) em pi diferente de A, basta escolher valores para duas variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, seja y=1 e z=1. Substituindo em
4x + y + 2z -15 = 0
temos
4x + 1 + 2cdot1 -15 = 0 Longrightarrow 4x -12 = 0 Longrightarrow x=3
Logo um ponto em pi, diferente de A, é
P=(3,1,1)

Passo 5

Verificamos se C=(5,-1,2) e D=(2,15,-4) satisfazem a equação 4x+y+2z-15=0.
Para C:
4cdot5 +(-1) +2cdot2 -15 = 20 -1 +4 -15 = 8 neq 0,
logo Cnotinpi.
Para D:
4cdot2 + 15 +2cdot(-4) -15 = 8 +15 -8 -15 = 0,
logo Dinpi.

Resposta

Equação do plano:
4x + y + 2z -15 = 0
Um ponto em pi diferente de A é P=(3,1,1).
C não pertence a pi e D pertence a pi.

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