Nos problema abaixo, determinar a equação geral do plano que contém os seguintes pares de retas:
Determinar a equação geral do plano que contém as retas
r: X=(1,3,4)+k(1,2,3) e s=(0,9,2)+t(2,4,6)

Passo 1

O enunciado fornece duas retas em forma paramétrica
r: X=(1,3,4)+k,(1,2,3), s: X=(0,9,2)+t,(2,4,6)
e pede a equação geral do plano que as contém.
O conteúdo aqui é Geometria Analítica no espaço: para determinar o plano basta achar um vetor normal a partir de dois vetores diretores ou de um diretor e de um vetor que ligue um ponto de uma reta a um ponto da outra.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores
v=(1,2,3)ew=(2,4,6)
Como w=2,v, as retas são paralelas e não coincidentes (pontos diferentes), logo existe um único plano que as contém.

Passo 3

Escolhemos P=(1,3,4) em r e Q=(0,9,2) em s. O vetor que liga P a Q é
PQ=Q-P=(-1,6,-2)

Passo 4

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial entre v e PQ:
n =vtimesPQ =det i&j&k 1&2&3 -1&6&-2 =(-22,-1,8)

Passo 5

A forma ponto–normal do plano usando o ponto P é
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0 Longrightarrow (-22,-1,8)cdot (x-1,y-3,z-4)=0

Passo 6

Expandindo a equação:
-22(x-1)-1(y-3)+8(z-4)=0
-22x+22-y+3+8z-32=0
-22x -y +8z -7=0
Multiplicando por -1, obtemos a forma mais usual:
22x + y -8z +7 = 0

Resposta

22x + y -8z +7 = 0

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