Determine uma equação geral para o plano \pi que é perpendicular à reta r:\left\{\begin{array}{l}x=1-2 \lambda \\\ y=\lambda \\\ z=5-\lambda\end{array}\right. e contém o ponto P=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano \pi\) que seja perpendicular à reta \[r:\begin{cases} x = 1 - 2\lambda,\\\ y = \lambda,\\\ z = 5 - \lambda \end{cases}
e que passe pelo ponto (P=(1,2,3)].
Conteúdo: geometria analítica de planos. Para um plano ser perpendicular a uma reta, basta que o vetor normal do plano seja paralelo ao vetor diretor da reta.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r. Da parametrização
x=1-2\lambda,\quad y=\lambda,\quad z=5-\lambda
vemos que
\vec d = (-2,\,1,\,-1).
Como o plano é perpendicular à reta, tomamos esse vetor como vetor normal \vec n do plano:
\vec n = (-2,\,1,\,-1).

Passo 3

Usamos a forma ponto-normal do plano:
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.
Substituindo \vec n=(-2,1,-1) e P=(1,2,3),
(-2,1,-1)\cdot \bigl((x,y,z)-(1,2,3)\bigr)=0
-2(x-1)+1(y-2)-1(z-3)=0
Expandindo e rearranjando:
-2x+2+y-2-z+3=0 \quad\Longrightarrow\quad -2x+y-z+3=0.
Multiplicando ambos os lados por -1 para ficar com coeficiente positivo em x:
2x - y + z - 3 = 0.

Resposta

2x - y + z - 3 = 0

Exercícios relacionados