Considere as retas r: X=(1,2,0)+\lambda(2,-2,2) e s: X=(1,-3,3)+ \lambda(1,1,1). Determine a r \cap s, a posição relativa e a distância entre r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r: X = (1,2,0) + \lambda\,(2,-2,2),
s: X = (1,-3,3) + \lambda\,(1,1,1).
Queremos (a) verificar se há interseção r\cap s, (b) classificar a posição relativa e (c) calcular a distância entre elas. Para isso vamos:
  1. Escrever as equações paramétricas usando parâmetros diferentes (digamos t e u).
  2. Tentar igualar coordenadas para achar interseção.
  3. Checar paralelismo dos vetores diretores.
  4. Se forem reversas (não se cruzam e não são paralelas), usar a fórmula da distância entre retas reversas via produto vetorial.

Passo 2

Escrevemos
r: \begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = 2 - 2t,\\\ z = 0 + 2t, \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x = 1 + u,\\\ y = -3 + u,\\\ z = 3 + u. \end{cases}
Para buscar interseção igualamos coordenadas:
  1. 1 + 2t = 1 + u \implies u = 2t.
  2. 2 - 2t = -3 + u \implies 2 - 2t = -3 + 2t \implies 5 = 4t \implies t = \tfrac54,\\ u = \tfrac52.
  3. Na terceira coordenada exigir 2t = 3 + u. Substituindo t=\tfrac54, u=\tfrac52, dá
2\cdot \frac54 = \frac52 \quad\text{e}\quad 3 + \frac52 = \frac{11}2,
que não coincidem \tfrac52 \neq \tfrac{11}2. Logo não há ponto comum:
r \cap s = \varnothing.

Passo 3

Os vetores diretores são \mathbf{v_r} = (2,-2,2) e \mathbf{v_s} = (1,1,1). Eles não são proporcionais (não existe k tal que (2,-2,2)=k(1,1,1)). Portanto as retas não são paralelas nem coincidentes. Como também não se intersectam, são retas reversas (skew).

Passo 4

Para retas reversas em \mathbb{R}^3, a distância é
d = \frac{\bigl|\langle P_s - P_r,\;\mathbf{v_r}\times\mathbf{v_s}\rangle\bigr|} {\bigl\|\mathbf{v_r}\times\mathbf{v_s}\bigr\|},
onde P_r=(1,2,0) e P_s=(1,-3,3).
Calculamos o produto vetorial:
\mathbf{v_r}\times\mathbf{v_s} = (2,-2,2)\times(1,1,1) =(-4,\,0,\,4).
Seu módulo é
\|\mathbf{v_r}\times\mathbf{v_s}\| =\sqrt{(-4)^2+0^2+4^2} =\sqrt{32} =4\sqrt2.
O vetor de diferença
P_s - P_r = (0,\,-5,\,3).
O produto escalar com o cross é
\langle(0,-5,3),\,(-4,0,4)\rangle =0\cdot(-4)+(-5)\cdot0+3\cdot4 =12.
Logo a distância é
d = \frac{|12|}{4\sqrt2} =\frac{12}{4\sqrt2} =\frac{3}{\sqrt2} =\frac{3\sqrt2}{2}.

Resposta

r ∩ s =\emptyset
Posição relativa: retas reversas (skew)
Distância: \displaystyle \frac{3\sqrt2}{2}

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