Considere a esfera de equação S: x^{2}+y^{2}+z^{2}+6 x-7=0.
a) Determine o centro e o raio desta esfera.
b) Determine a interseção entre a esfera S e r: X=(0,1,0)+\lambda(-1,1,0)

Passo 1

O enunciado dá a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}+6x-7=0
e a reta
\mathbf{r}(\lambda)=(0,1,0)+\lambda(-1,1,0).
Vamos primeiro achar o centro e o raio da esfera (geometria analítica de esferas) e depois determinar a interseção substituindo a parametrização da reta na equação da esfera.

Passo 2

Para achar o centro e o raio completamos o quadrado em x. Note que
x^{2}+6x = (x+3)^{2} -9.
Substituindo na equação da esfera:
(x+3)^{2} -9 + y^{2} + z^{2} -7 = 0
(x+3)^{2} + y^{2} + z^{2} = 16.
Isso mostra que o centro é (-3,0,0) e o raio é \sqrt{16}=4.

Passo 3

Agora fazemos a interseção com a reta. Os pontos da reta são
x=-\lambda,\quad y=1+\lambda,\quad z=0.
Substituímos esses valores na equação da esfera:

Passo 4

(-\lambda)^{2} + (1+\lambda)^{2} + 0^{2} + 6(-\lambda) -7 = 0.
Desenvolvendo:
\lambda^{2} + (1+2\lambda+\lambda^{2}) -6\lambda -7 = 0
2\lambda^{2} -4\lambda -6 = 0.

Passo 5

Dividindo por 2:
\lambda^{2} -2\lambda -3 = 0.
Essa é uma equação quadrática que fatoramos:
(\lambda-3)(\lambda+1)=0,
logo \lambda=3 ou \lambda=-1.

Passo 6

Para cada valor de \lambda achamos o ponto correspondente na reta:
  • Se \lambda=3, então (x,y,z)=(-3,4,0).
  • Se \lambda=-1, então (x,y,z)=(1,0,0).

Resposta

a) Centro (-3,0,0) e raio 4.
b) A reta intercepta a esfera nos pontos (-3,4,0) e (1,0,0).

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