Considere a esfera de equação
.
a) Determine o centro e o raio desta esfera.
b) Determine a interseção entre a esfera
e
a) Determine o centro e o raio desta esfera.
b) Determine a interseção entre a esfera
Passo 1
O enunciado dá a esfera
e a reta
Vamos primeiro achar o centro e o raio da esfera (geometria analítica de esferas) e depois determinar a interseção substituindo a parametrização da reta na equação da esfera.
Passo 2
Para achar o centro e o raio completamos o quadrado em
. Note que
Substituindo na equação da esfera:
Isso mostra que o centro é
e o raio é
.
Passo 3
Agora fazemos a interseção com a reta. Os pontos da reta são
Substituímos esses valores na equação da esfera:
Passo 4
Desenvolvendo:
Passo 5
Dividindo por 2:
Essa é uma equação quadrática que fatoramos:
logo
ou
.
Passo 6
Para cada valor de
achamos o ponto correspondente na reta:
- Se
, então . - Se
, então .
Resposta
a) Centro
e raio
.
b) A reta intercepta a esfera nos pontos e
.
b) A reta intercepta a esfera nos pontos