Determine a equação geral e reduzida da circunferência de C0=(1,2) e que passa pelo ponto (3,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação geral e reduzida de uma circunferência com centro em que passa pelo ponto . Então, vamos trabalhar com a geometria das circunferências, especificamente usando fórmulas para encontrar as equações baseadas no centro e em um ponto que está na circunferência.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o raio da circunferência. O raio é a distância entre o centro d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e o ponto d = raiz(3 - 1)^2 + (3 - 2)^2 = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5 que está na circunferência. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Vamos aplicar os valores:
Então, o raio é .

Passo 3

Agora que temos o centro (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e o raio (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (raiz5)^2 , podemos escrever a equação reduzida da circunferência. A equação reduzida é dada por:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5
Substituindo os valores:

Passo 4

Para encontrar a equação geral da circunferência, vamos expandir a equação reduzida:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5
Expandindo os termos:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 5
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 5
Subtraindo 5 de ambos os lados para deixar a equação igualada a zero:
x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0

Resposta

A equação reduzida da circunferência é:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5
E a equação geral da circunferência é:
x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0

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