Os polinômios p(x)=x^3-5 x^2+1, q(x)=2 x^4+5 x-6 e r(x)=x^2-5 x+2 do P4 formam um conjunto linearmente independente?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três polinômios:
Estamos no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 4. A pergunta é: Esses três polinômios formam um conjunto linearmente independente?
Para responder isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como verificar isso para os polinômios dados.

Passo 2

Independência Linear significa que nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, se a única solução para a combinação c1 (x^3 - 5x^2 + 1) + c2 (2x^4 + 5x - 6) + c3 (x^2 - 5x + 2) = 0 for , então os polinômios são linearmente independentes.
Vamos montar essa combinação:

Passo 3

Vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
c1 x^3 - 5c1 x^2 + c1 + 2c2 x^4 + 5c2 x - 6c2 + c3 x^2 - 5c3 x + 2c3 = 0
Organizando por poderes de 2c2 x^4 + c1 x^3 + (-5c1 + c3) x^2 + (5c2 - 5c3) x + (c1 - 6c2 + 2c3) = 0 :

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (coeficiente de )
  4. (coeficiente de )
  5. (termo constante)

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , já temos .
  3. Substituindo na equação 3: .
  4. Já que e , a equação 4 confirma .
  5. Substituindo na equação 5: , que é verdadeira.

Resposta

Como a única solução para o sistema é , os polinômios , e são linearmente independentes no espaço .

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