Os polinômios
e
do
formam um conjunto linearmente independente?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três polinômios:
Estamos no espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 4. A pergunta é: Esses três polinômios formam um conjunto linearmente independente?
Para responder isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como verificar isso para os polinômios dados.
Passo 2
Independência Linear significa que nenhum polinômio do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, se a única solução para a combinação
for
, então os polinômios são linearmente independentes.
Vamos montar essa combinação:
Passo 3
Vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
Organizando por poderes de
:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
- De
, temos . - De
, já temos . - Substituindo
na equação 3: ⇒ . - Já que
e , a equação 4 confirma . - Substituindo
na equação 5: , que é verdadeira.
Resposta
Como a única solução para o sistema é
, os polinômios
,
e
são linearmente independentes no espaço
.