Determine a equação da hipérbole nos seguintes casos:
Determine a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas:
centro (0,4), um dos focos é (0,-1) e um dos seus pontos \mathrm{P}\left(\frac{16}{3}, 9\right);

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujo centro é (0,4), um foco é (0,-1) e que passa pelo ponto P\bigl(\tfrac{16}{3},9\bigr). O conteúdo envolve hipérboles com eixos alinhados aos eixos coordenados, uso da relação entre a, b e c, e substituição de um ponto na forma padrão.

Passo 2

Como o foco (0,-1) está sobre a reta x=0 passando pelo centro, o eixo transverso é vertical. Logo a forma padrão é
\frac{(y-4)^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{(x-0)^{2}}{b^{2}} \;=\;1.

Passo 3

A distância do centro (0,4) ao foco (0,-1) é
c = \sqrt{(0-0)^{2}+(-1-4)^{2}} = 5,
e para hipérbole vertical vale
c^{2} \;=\; a^{2} + b^{2} \quad\Longrightarrow\quad 25 = a^{2}+b^{2}.

Passo 4

Substituímos o ponto P\bigl(\tfrac{16}{3},9\bigr) na forma padrão:
\frac{(9-4)^{2}}{a^{2}} \;-\; \frac{\bigl(\tfrac{16}{3}\bigr)^{2}}{b^{2}} =1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{a^{2}} \;-\; \frac{256/9}{b^{2}} =1.
Usando b^{2}=25-a^{2}, temos
\frac{25}{a^{2}} \;-\; \frac{\tfrac{256}{9}}{\,25 - a^{2}\,} =1.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por a^{2}(25 - a^{2}) e simplificando chega-se à equação quadrática em A=a^{2}:
9A^{2} -706A +5625 =0,
cuja solução relevante (com 0<A<25) é
a^{2} = 9.

Passo 6

Da relação b^{2}=25 - a^{2} resulta
b^{2} = 25 - 9 = 16.

Resposta

A equação da hipérbole é
\frac{(y-4)^{2}}{9} \;-\; \frac{x^{2}}{16} \;=\; 1.

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