(a) Determine a equação paramétrica da curva C de equação cartesiana:
\left\{\begin{array}{l} y=x^{2} \\\ z=2-y \end{array}\right.
(b) Determine a curvatura de C no tempo t.
(c) Para quais valores de t a curvatura é máxima?
(d) C é uma curva plana? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a curva C\subset\mathbb{R}^3\) pelas equações \[\begin{cases} y = x^2,\\\ z = 2 - y. \end{cases}
O conteúdo é parametrizar uma curva em (\mathbb{R}^3], calcular sua curvatura usando
\kappa(t) = \frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3},
e verificar se a curva é plana.

Passo 2

Escolhemos o parâmetro t igual a x. Logo, uma parametrização conveniente é
r(t) = \bigl(t,\;t^2,\;2 - t^2\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas primeira e segunda de r(t):
r'(t) = \bigl(1,\;2t,\;-2t\bigr), \quad r''(t) = \bigl(0,\;2,\;-2\bigr).

Passo 4

Formamos o produto vetorial e a norma de r':
r'(t)\times r''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 2t & -2t\\\\ 0 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (0,\;2,\;2),
\|r'(t)\| = \sqrt{1 + (2t)^2 + (-2t)^2} = \sqrt{1 + 8t^2},
\|r'(t)\times r''(t)\| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}.
Portanto
\kappa(t) = \frac{2\sqrt{2}}{\bigl(\sqrt{1 + 8t^2}\bigr)^3} = \frac{2\sqrt{2}}{(1 + 8t^2)^{3/2}}.

Passo 5

Para maximizar \kappa(t), minimizamos o denominador 1 + 8t^2. Isso ocorre em t=0. Então a curvatura é máxima em
t = 0.

Passo 6

A curva satisfaz sempre y + z = t^2 + (2 - t^2) = 2, ou seja, pertence ao plano constante y+z=2. Logo C é uma curva plana.

Resposta

(a) \displaystyle r(t) = (t,\;t^2,\;2 - t^2).
(b) \displaystyle \kappa(t) = \frac{2\sqrt{2}}{(1 + 8t^2)^{3/2}}.
(c) A curvatura é máxima em t=0.
(d) Sim. A curva fica contida no plano y+z=2, logo é plana.

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