(b) Determine a curvatura de C no tempo t.
(c) Para quais valores de t a curvatura é máxima?
(d) C é uma curva plana? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a curva C\subset\mathbb{R}^3\) pelas equações
\[\begin{cases} y = x^2,\\\ z = 2 - y. \end{cases}
O conteúdo é parametrizar uma curva em (\mathbb{R}^3], calcular sua curvatura usando \kappa(t) = \frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3},
e verificar se a curva é plana.
Passo 2
Escolhemos o parâmetro t igual a x. Logo, uma parametrização conveniente é
r(t) = \bigl(t,\;t^2,\;2 - t^2\bigr).
Passo 3
Calculamos as derivadas primeira e segunda de r(t):
Para maximizar \kappa(t), minimizamos o denominador 1 + 8t^2. Isso ocorre em t=0. Então a curvatura é máxima em
t = 0.
Passo 6
A curva satisfaz sempre y + z = t^2 + (2 - t^2) = 2, ou seja, pertence ao plano constante y+z=2. Logo C é uma curva plana.
Resposta
(a) \displaystyle r(t) = (t,\;t^2,\;2 - t^2).
(b) \displaystyle \kappa(t) = \frac{2\sqrt{2}}{(1 + 8t^2)^{3/2}}.
(c) A curvatura é máxima em t=0.
(d) Sim. A curva fica contida no plano y+z=2, logo é plana.