Seja
. Determine:
(a) O domínio de
. Justifique.
(b) O comprimento da curva gerada por
e compreendida entre os pontos
e
.
Dica: Quando for resolver a integral, note que
(a) O domínio de
(b) O comprimento da curva gerada por
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede (a) o domínio de
e (b) o comprimento do arco entre os pontos
e
. O conteúdo é domínio de função vetorial e cálculo de comprimento de curva.
Passo 2
O domínio de
é o conjunto de todos os
em que cada componente está bem definida. A função
é definida para todo
e
,
também existem para todo
.
Portanto o domínio de é
.
Portanto o domínio de
Passo 3
Para achar os parâmetros que correspondem aos pontos dados, igualamos
daí
, e
.
Para temos
, e de fato
,
.
Logo o arco vai de até
.
Para
Logo o arco vai de
Passo 4
Calculamos a derivada
e o seu módulo
Usando a dica, note que
portanto
Passo 5
O comprimento do arco é
Resposta
(a) O domínio de
é
.
(b) O comprimento do arco é .
(b) O comprimento do arco é