Seja r(t)=\left(t \sqrt{2}, e^{t}, e^{-t}\right). Determine:
(a) O domínio de r(t). Justifique.
(b) O comprimento da curva gerada por r(t) e compreendida entre os pontos (0,1,1) e \left(\sqrt{2}, e, e^{-1}\right).
Dica: Quando for resolver a integral, note que 2+e^{2 t}+e^{-2 t}=\frac{e^{4 t}+2 e^{2 t}+1}{e^{2 t}}=\frac{\left(e^{2 t}+1\right)^{2}}{e^{2 t}}

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=\bigl(t\sqrt{2},\,e^{t},\,e^{-t}\bigr)
e pede (a) o domínio de r e (b) o comprimento do arco entre os pontos (0,1,1) e \bigl(\sqrt{2},e,e^{-1}\bigr). O conteúdo é domínio de função vetorial e cálculo de comprimento de curva.

Passo 2

O domínio de r é o conjunto de todos os t em que cada componente está bem definida. A função t\mapsto t\sqrt{2} é definida para todo t\in\mathbb{R} e e^{t}, e^{-t} também existem para todo t\in\mathbb{R}.
Portanto o domínio de r é \mathbb{R}.

Passo 3

Para achar os parâmetros que correspondem aos pontos dados, igualamos
r(t)=(t\sqrt{2},\,e^t,\,e^{-t})\;=\;(0,1,1)
daí t\sqrt{2}=0\implies t=0, e r(0)=(0,1,1).
Para \bigl(\sqrt{2},e,e^{-1}\bigr) temos t\sqrt{2}=\sqrt{2}\implies t=1, e de fato e^{1}=e, e^{-1}=e^{-1}.
Logo o arco vai de t=0 até t=1.

Passo 4

Calculamos a derivada
r'(t)=\bigl(\sqrt{2},\,e^t,\,-e^{-t}\bigr)
e o seu módulo
\lVert r'(t)\rVert =\sqrt{2 + e^{2t} + e^{-2t}}.
Usando a dica, note que
2 + e^{2t} + e^{-2t} =\frac{(e^{2t}+1)^2}{e^{2t}} =(e^t+e^{-t})^2,
portanto
\lVert r'(t)\rVert = e^t + e^{-t}.

Passo 5

O comprimento do arco é
L = \int_{0}^{1} \lVert r'(t)\rVert \,dt = \int_{0}^{1}\bigl(e^t + e^{-t}\bigr)\,dt = \bigl[e^t - e^{-t}\bigr]_{0}^{1} = e - e^{-1}.

Resposta

(a) O domínio de r é \mathbb{R}.
(b) O comprimento do arco é e - e^{-1}.

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