Determine uma equação paramétrica da reta tangente às curvas nos pontos indicados.
\gamma(t)=(\sin (3 t), \sin (2 t)), t=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva parametrizada \gamma(t)=(\sin(3t),\sin(2t)) no ponto correspondente a t=\frac{\pi}{2}. Para obter essa reta precisamos
  1. calcular o ponto \gamma\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr),
  2. encontrar a derivada \gamma'(t),
  3. avaliar \gamma'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) para ter o vetor direção,
  4. montar a equação paramétrica da reta usando o ponto e o vetor direção.

Passo 2

Calcular o ponto da curva em t=\tfrac{\pi}{2}. Temos
\gamma\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\bigl(\sin\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr),\;\sin\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr) =\bigl(\sin\tfrac{3\pi}{2},\;\sin\pi\bigr) =(-1,0).

Passo 3

Determinar a derivada de \gamma. Como \gamma(t)=(\sin(3t),\sin(2t)), pelo cálculo de derivadas temos
\gamma'(t) =\bigl(3\cos(3t),\;2\cos(2t)\bigr).

Passo 4

Avaliar \gamma'(t) em t=\tfrac{\pi}{2}:
\gamma'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\bigl(3\cos\tfrac{3\pi}{2},\;2\cos\pi\bigr) =\bigl(3\cdot0,\;2\cdot(-1)\bigr) =(0,-2).
Esse vetor (0,-2) é o vetor direção da reta tangente.

Passo 5

A reta tangente, em forma paramétrica com parâmetro s, passa pelo ponto (-1,0) e tem direção (0,-2). Logo
L(s) =\bigl(x(s),y(s)\bigr) =(-1,0)+s\,(0,-2) =\bigl(-1,\,-2s\bigr).

Resposta

Uma equação paramétrica da reta tangente é
\begin{cases} x(s)=-1,\\\ y(s)=-2s, \end{cases}
com s\in\mathbb{R}.

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